人教高中数学考点32 正弦定理、余弦定理的应用（解析版）.docx

考点32 正弦定理、余弦定理的应用
【命题解读】
高考对正弦定理和余弦定理的考查较为灵活，题型多变，往往以小题的形式独立考查正弦定理或余弦定理，以解答题的形式综合考查定理的综合应用，多与三角形周长、面积有关；有时也会与平面向量、三角恒等变换等结合考查，试题难度控制在中等或以下，主要考查灵活运用公式求解计算能力、推理论证能力、数学应用意识、数形结合思想等．
【基础知识回顾】
1．仰角和俯角
在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图①)．
2．方位角
从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②)．
3．方向角：相对于某一正方向的水平角．
(1)北偏东α，即由指北方向顺时针旋转α到达目标方向(如图③)．
(2)北偏西α，即由指北方向逆时针旋转α到达目标方向．
(3)南偏西等其他方向角类似．
区分两种角
(1)方位角：从正北方向起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角．
(2)方向角：正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角．
4．坡角与坡度
(1)坡角：坡面与水平面所成的二面角的度数(如图④，角θ为坡角)．
(2)坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图④，i为坡度)．坡度又称为坡比．
1． 为了在一条河上建一座桥，施工前在河两岸打上两个桥位桩A，B(如图)，要测量A，B两点的距离，测量人员在岸边定出基线
BC，测得BC＝50 m，∠ABC＝105°，∠BCA＝45°．就可以计算出A，B两点的距离为____________．
A．20 m B．30 m C．40 m D．50 m
【答案】：D
【解析】：由正弦定理得，则AB＝50(m)．
2． 如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB，C是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO的小路CD．已知某人从O沿OD走到D用了2 min，从D沿着DC走到C用了3 min．若此人步行的速度为每分钟50 m，则该扇形的半径为________m．
A．50 B．50 C．50 D．50
【答案】：C
【解析】连结OC，在△OCD中，OD＝100，CD＝150，∠CDO＝60°，
由余弦定理可得OC2＝1002＋1502－2×100×150×＝17 500，解得OC＝50(m)．
3． 如图，一艘船上午9：30在A处测得灯塔S在它的北偏东30°处，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达B处，此时又测得灯塔S在它的北偏东75°处，且与它相距8 n mile．此船的航速是__________n mile/h．
A．16 B．32 C．64 D．128
【答案】：B
【解析】：设航速为v n mile/h，在△ABS中，AB＝v，BS＝8 n mile，∠BSA＝45°，
由正弦定理，得＝，
∴ v＝32 n mile/h．
4． 某渔轮在航行中不幸遇险，发出呼叫信号，我海军舰艇在A处获悉后，立即测出该渔轮在方位角为45°距离为10海里的C处，并测得渔轮正沿方位角为105°的方向，以9海里/小时的速度向小岛靠拢，我海军舰艇立即以21海里/小时的速度前去营救，则舰艇靠近渔轮所需的时间为____________小时．
A． B． C． D．1
【答案】：B
【解析】：如图，设舰艇在B′处靠近渔轮，所需的时间为t小时，则AB′＝21t，CB′＝9t．
在△AB′C中，根据余弦定理，则有
AB′2＝AC2＋B′C2－2AC·B′Ccos120°，
可得212t2＝102＋81t2＋2·10·9t·．
整理得360t2－90t－100＝0，解得t＝或t＝－(舍去)．
故舰艇需小时靠近渔轮．
考向一　利用正弦、余弦定理解决距离及角度问题
例1、某市电力部门需要在A，B两地之间架设高压电线，因地理条件限制，不能直接测量A，B两地距离． 现测量人员在相距 km的C，D两地(假设A，B，C，D在同一平面上)，测得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°(如图)，假如考虑到电线的自然下垂和施工损耗等原因，实际所须电线长度大约应该是A，B距离的倍，问施工单位至少应该准备多长的电线？
【解析】：在△ACD中，由已知可得∠CAD＝30°，所以AC＝ km．
在△BCD中，由已知可得，∠CBD＝60°．
sin75°＝sin(45°＋30°)＝．
由正弦定理，BC＝＝．
cos75°＝cos(45°＋30°)＝．
在△ABC中，由余弦定理
AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos∠BCA
＝2＋－2··cos75°＝5