人教高中数学秘籍06 平面向量四大定理（解析版）.docx

秘籍06 平面向量四大定理
概率预测
☆☆☆☆
题型预测
选择题、填空题☆☆☆☆
考向预测
投影向量与向量的投影的区别
平面向量是近几年小题的热点必考题型，主要考察学生对于向量的转化也就是基底思想的熟练程度，包含了对于复杂知识的简单化也就是化归与转化的思想的掌握。近几年的向量也出现过单选的压轴题，考察的大多为向量的三大定理之一。还有新教材新加的投影向量也是今年的热门知识点。
【题型一】 奔驰定理
为内一点，，则.
重要结论：，，.
结论1：对于内的任意一点， 若、、的面积分别为、、，则：
.
即三角形内共点向量的线性加权和为零，权系数分别为向量所对的三角形的面积.
结论2：对于平面内的任意一点，若点在的外部，并且在的内部或其对顶角的内部所在区域时，则有.
结论3：对于内的任意一点， 若，则、、的面积之比为.
即若三角形内共点向量的线性加权和为零，则各向量所对的三角形面积之比等于权系数之比.
结论4：对于所在平面内不在三角形边上的任一点，，则、、的面积分别为.
1.设点在的内部，且，若的面积是27，则的面积为（ ）
A．9 B．8 C． D．7
【答案】A
【详解】方法一延长OC到D，使得OD=2OC,因为，所以，
以OA，OD为边作平行四边形OAED,对角线交点为F,OE交AC于H,因为,所以,
因为OC:AE=1:2,所以OH:HE=1:2,所以,所以,
所以的面积是面积的，所以的面积为9.故选：A
方法二：奔驰定理,所以的面积为9.故选：A
2.在中，为其内部一点，且满足，则和的面积比是（ ）
A．3：4 B．3:2 C．1:1 D．1:3
【答案】D
【解析】
取 中点 ,则由 得 ,所以, 在线段上,因此 ，选D.
方法二：极化恒等式可得面积比为1:3，所以选D.
3.在平面上有及内一点O满足关系式：即称为经典的“奔驰定理”，若的三边为a，b，c，现有则O为的（       ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
【答案】B
【详解】记点O到AB、BC、CA的距离分别为，，，，因为
，则，即，又因为，所以，所以点P是△ABC的内心.
故选：B
1．（2021·四川凉山·统考三模）如图，为内任意一点，角，，的对边分别为，，.总有优美等式成立，因该图形酷似奔驰汽车车标，故又称为奔驰定理.现有以下命题：
①若是的重心，则有；
②若成立，则是的内心；
③若，则；
④若是的外心，，，则.
则正确的命题有___________.
【答案】①②④
【详解】对于①：如图所示：因为分别为的中点，
所以,，
同理可得、，
所以，又因为
所以.①正确.

对于②：记点到的距离分别为，，因为，则，即，又因为，所以，所以点是的内心.②正确.
对于③：因为，所以,,,
所以,
化简得：，
又因为不共线.
所以，
.③错误.
对于④：因为是的外心，，所以,，,
因为，则，
化简得： ,由题意知不同时为正.
记,
则，
因为
所以.④正确.
故答案为：①②④.
2．（2022·全国·模拟预测）在中，点是的重心，过点作直线分别交线段，于点，（，不与的顶点重合），则的最小值为___________.
【答案】
【详解】设，，，.因为是的重心，
所以.由，，三点共线可知，
.
由平面向量基本定理可知解得，，
所以，，
所以， ，
因为是的重心，所以，故
当且仅当，即时，等号成立.
故答案为：.
（多选）3．（2021·全国·模拟预测）如图，已知点G为的重心，点D，E分别为AB，AC上的点，且D，G，E三点共线，，，，，记，，四边形BDEC的面积分别为，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABC
【详解】连接AG并延长交BC于点M，如图，因G为的重心，则M是BC边的中点，且，
又D，G，E三点共线，即，则有，
而，，又，于是得，
而与不共线，因此，，，A正确；
边AD上的高为，边AB上的高为，
则，B正确；
由A可知，，当且仅当时取“=”，则有，
即，而，于是得，C正确，D错误.
故选：ABC
【题型二】 极化恒等式
基础知识：
简化：在△中，是边的中点，则.
1.已知△是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是（ ）

解析：取的中点，连接，，取的中点，连接，
由△是边长为2的等边三角形，为中线的中点，
则