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应用基本不等式的八种变形技巧
基本不等式的一个主要功能就是求两个正变量和与积的最值，即所谓“和定积最大，积定和最小”．但有的题目需要利用基本不等式的变形式求最值，有的需要对待求式作适当变形后才可求最值．常见的变形技巧有以下几种：
技巧一　加上一个数或减去一个数使和或积为定值
函数f(x)＝＋x(x<3)的最大值是(　　)
A．－4 B．1
C．5 D．－1
【解析】　因为x<3，所以3－x>0，所以f(x)＝－＋3≤－2＋3＝－1.当且仅当＝3－x，即x＝1时等号成立，所以f(x)的最大值是－1.
【答案】　D
技巧二　平方后再使用基本不等式
一般地，含有根式的最值问题，首先考虑平方后求最值．
若x>0，y>0，且2x2＋＝8，求x的最大值．
[思路点拨]　由于已知条件式中有关x，y的式子均为平方式，而所求式中x是一次的，且根号下y是二次的，因此考虑平方后求其最值．
【解】　(x)2＝x2(6＋2y2)＝3·2x2≤3·＝3×.当且仅当2x2＝1＋，即x＝，y＝时，等号成立．故x的最大值为.
技巧三　展开后求最值
对于求多项式积的形式的最值，可以考虑展开后求其最值．
已知a>0，b>0且a＋b＝2，求的最小值．
[思路点拨]　由于待求式是一个积的形式，因此需将多项式展开后将积的最小值转化为和的最小值．
【解】　由题得＝＋＋＋1＝＋＋1＝＋1，
因为a>0，b>0，a＋b＝2，所以2≥2，所以ab≤1，所以≥1.所以≥4(当且仅当
a＝b＝1时取等号)，所以的最小值是4.
技巧四　变形后使用基本不等式
设a>1，b>1，且ab－(a＋b)＝1，那么(　　)
A．a＋b有最小值2(＋1)
B．a＋b有最大值(＋1)2
C．ab有最大值＋1
D．ab有最小值2(＋1)
【解析】　因为ab－(a＋b)＝1，ab≤()2，
所以－(a＋b)≥1，它是关于a＋b的一元二次不等式，
解得a＋b≥2(＋1)或a＋b≤2(1－)(舍去)，
所以a＋b有最小值2(＋1)．
又因为ab－(a＋b)＝1，a＋b≥2，
所以ab－2≥1，它是关于的一元二次不等式，
解得≥＋1或≤1－(舍去)，
所以ab≥3＋2，即ab有最小值3＋2.
【答案】　A
技巧五　形如型函数变形后使用基本不等式
若y＝中f(x)的次数小于g(x)的次数，可取倒数后求其最值．
求函数y＝(x≠－1)的值域．
[思路点拨]　将(x＋5)(x＋2)用(x＋1)来表示再变形为f(x)＝Ax＋＋C的形式，然后运用基本不等式求解．
【解】　因为y＝＝
＝＝x＋1＋＋5，
当x＋1>0时，即x>－1时，y≥2＋5＝9(当且仅当x＝1时取等号)；
当x＋1<0，即x<－1时，y≤5－2＝1(当且仅当x＝－3时取等号)．
所以函数的值域为(－∞，1]∪[9，＋∞)．
技巧六　用“1”的代换法求最值
已知＋＝1，且x>0，y>0，求x＋y的最小值．
【解】　法一：因为x>0，y>0，所以x＋y＝(x＋y)·1＝(x＋y)·＝3＋＋≥3＋2＝3＋2.
当且仅当＝，且＋＝1，即x＝＋1，y＝2＋时，上式等号成立．故x＋y的最小值是3＋2.
法二：因