人教考点18 空间中的角度和距离问题（核心考点讲与练）-2023年高考数学一轮复习核心考点讲与练（新高考专用）(解析版）.docx

考点18 空间中的角度和距离问题（核心考点讲与练）
1.异面直线所成的角
设a，b分别是两异面直线l1，l2的方向向量，则
a与b的夹角β
l1与l2所成的角θ
范围
(0，π)
求法
cos β＝
cos θ＝|cos β|＝
2.直线和平面所成的角
(1)定义：一条斜线和它在平面内的射影所成的角叫做斜线和平面所成的角，一条直线垂直于平面，则它们所成的角是直角；一条直线和平面平行或在平面内，则它们所成的角是0°的角.
(2)范围：.
3.求直线与平面所成的角
设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为θ，则sin θ＝|cos〈a，n〉|＝.
4.二面角
(1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角；
(2)二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角.
(3)二面角的范围：[0，π].
5.求二面角的大小
(1)如图①，AB，CD是二面角α－l－β的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝__〈，〉.
(2)如图②③，n1，n2 分别是二面角α－l－β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足|cos θ|＝|cos〈n1，n2〉|，二面角的平面角大小是向量n1与n2的夹角(或其补角).
6.点到平面的距离
用向量方法求点B到平面距离基本思路：确定平面法向量， 在平面内取一点A，求向量到法向量的投影向量，投影向量的长度即为所要求的距离.如图平面α的法向量为n，点B到平面α的距离d＝.
1.异面直线所成的角，若向量a、b分别是异面直线与的方向向量，异面直线与所成的角为，则；.
2.设直线的方向向量为，平面的一个法向量为，直线与平面所成的角为，则；.
3.设向量为m平面的一个法向量，向量n为平面的一个法向量，平面与平面所称的二面角为，则；. 或.
4.点到平面的距离的求法
如图，设AB为平面α的一条斜线段，n为平面α的法向量，则点B到平面α的距离d＝.
5.求参数的值与范围是高中数学中的常见题型.立体几何中含参数的问题，解决起来既有常规的函数和不等式法，亦有具有立体几何特征的极限位置、几何直观、化曲为直等一些特殊方法.
6.存在性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在．
解决存在性问题应注意以下几点：
(1)当条件和结论不唯一时要分类讨论；
(2)当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件；
(3)当条件和结论都不知，按常规方法解题很难时，要思维开放，采取另外的途径．
线线、线面、面面角
1.（2021贵州省遵义航天高级中学高三月考）如图，四棱锥中，底面是矩形，，，，，是等腰三角形，点是棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】以为坐标原点，建立坐标系，写出点的坐标，以及直线的方向向量，即可用向量法求得结果.
【详解】因为，，两两垂直，
以为原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系.
又因为，，
所以，，，，
因为是棱的中点，所以，
所以，，
所以，
故选：B.
2．（2022·湖南衡阳·二模）如图，已知圆台的下底面半径为2，上底面半径为1，母线与底面所成的角为为母线，平面平面为的中点.
(1)证明：平面平面；
(2)当点为线段的中点时，求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析；(2).
【分析】（1）过点作平面的垂线，垂足为，证明平面，原题即得证；
（2）以为坐标原点，所在直线分别为轴､轴､轴，建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法求直线与平面所成角的正弦值.
(1)证明：过点作平面的垂线，垂足为，
如图，则是的中点，所以.
又，所以.
连接，因为，所以为等边三角形.
因为点为的中点，所以
因为平面平面，平面平面，且平面，
所以平面.
因为平面，所以.
又因为平面平面，
所以平面.
因为平面，所以平面平面.
(2)解：以为坐标原点，所在直线分别为轴､轴､轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
设平面的一个法向量为，
则，即取，得，
所以，
又，
所以
所以直线与平面所成角的正弦值为.
3．（2022·河南河南·三模（理））如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，为底面直径，，是底面的内接正三角形，且，是线段上一点．
(1)若平面，求；
(2)当