人教考向24 平面向量的基本定理及坐标表示（重点）-备战2022年高考数学一轮复习考点微专题.doc

考向24 平面向量的基本定理及坐标表示
1．（2021·全国高考真题（理））已知向量，若，则__________．
【答案】
【分析】
根据平面向量数量积的坐标表示以及向量的线性运算列出方程，即可解出．
【详解】
因为，所以由可得，
，解得．
故答案为：．
【点睛】
本题解题关键是熟记平面向量数量积的坐标表示，设，
，注意与平面向量平行的坐标表示区分．
2．（2019·江苏高考真题）如图，在中，D是BC的中点，E在边AB上，BE=2EA，AD与CE交于点.若，则的值是_____.
【答案】.
【分析】
由题意将原问题转化为基底的数量积，然后利用几何性质可得比值.
【详解】
如图，过点D作DF//CE，交AB于点F，由BE=2EA，D为BC中点，知BF=FE=EA,AO=OD.
，
得即故.
【点睛】
本题考查在三角形中平面向量的数量积运算，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养.采取几何法，利用数形结合和方程思想解题.
1.应用平面向量基本定理的关键点
（1）平面向量基本定理中的基底必须是两个不共线的向量．
（2）选定基底后，通过向量的加、减、数乘以及向量平行的充要条件，把相关向量用这一组基底表示出来．
（3）强调几何性质在向量运算中的作用，用基底表示未知向量，常借助图形的几何性质，如平行、相似等．
2.用平面向量基本定理解决问题的一般思路
（1）先选择一组基底，并运用平面向量基本定理将条件和结论表示成该基底的线性组合，再进行向量的运算．
（2）在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便，另外，要熟练运用线段中点的向量表达式.
3.向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的相对位置有关系．
4.两个相等的向量，无论起点在什么位置，它们的坐标都是相同的．
.
1.平面向量基本定理
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使.其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.
2．向量坐标的求法
（1）若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标.
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），则=（x2－x1，y2－y1）.
3．向量加法、减法、数乘向量及向量的模
设a=（x1，y1），b=（x2，y2），则a＋b=（x2+x1，y2+y1），a－b=（x1－x2，y1－y2），λa=（λx1，λy1），
|a|=，|a＋b|=.
4．平面向量共线的坐标表示
设a=（x1，y1），b=（x2，y2），则a∥b⇔x1y2－x2y1=0.
5．向量的夹角
已知两个非零向量a和b，作=a，=b，则∠AOB=θ（0°≤θ≤180°）叫做向量a与b的夹角.如果向量a与b的夹角是90°，我们说a与b垂直，记作a⊥b.

【知识拓展】
向量共线（平行）的坐标表示
1．利用两向量共线的条件求向量坐标．一般地，在求与一个已知向量共线的向量时，可设所求向量为 ()，然后结合其他条件列出关于的方程，求出的值后代入即可得到所求的向量．
2．利用两向量共线求参数．如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，则利用“若，，则的充要条件是”解题比较方便．
3．三点共线问题．A，B，C三点共线等价于与共线．
4．利用向量共线的坐标运算求三角函数值：利用向量共线的坐标运算转化为三角方程，再利用三角恒等变换求解.
1．（2021·天水市第一中学高一期末）如图，平行四边形ABCD中，E是AD的中点，F在线段BE上，且，记，，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·广东高三其他模拟）在四边形中，，单位向量与平行，是的中点，，若在､､､中选两个作为基本向量，来表示向量，则___________.
3．（2021·全国高三其他模拟（文））已知向量，，，，___________.
4．（2021·全国高三其他模拟（理））若向量，，则___________.

1．（2021·四川省绵阳南山中学高三其他模拟（理））在平行四边形中，，，，为的中点，则（ ）
A．9 B．12 C．18 D．22
2．（2021·全国高三其他模拟（文））已知向量，，，，则的值为（ ）
A． B． C．2 D．10
3．（2021·福建三明一中高三其他模拟）已知向量，，且与共线，则x=（ ）
A． B． C． D．
4．（2021·北京高一其他模拟）已知向量，向量，若，则