人教高中数学专题3 圆锥曲线中的长度问题（解析版）.docx

专题3 圆锥曲线中的长度问题
一、考情分析
圆锥曲线中的长度问题是直线与圆锥曲线中最基本的问题,一般出现在解答题第2问,常见的有焦半径、弦长、两点间距离、点到直线距离、三角形周长等,求解方法可以用两点间距离公式、弦长公式、点到直线距离公式、函数求最值等.
二、解题秘籍
(一) 利用两点间距离公式求线段长度
若直线与圆锥曲线的交点坐标已知或可求,可直线利用两点间距离公式求线段长度.
【例1】（2022届山西省吕梁市高三上学期12月月考）在平面直角坐标系中,已知椭圆的右准线为（定义：椭圆C的右准线方程为,其中）.点P是右准线上的动点,过点P作椭圆C的两条切线,分别与y轴交于M,N两点.当P在x轴上时,.
（1）求椭圆C的方程；
（2）求的最小值.
【解析】（1）由题意可知,当P点坐标为时,,
不妨设点M在点N上方,则,
所以直线与椭圆C相切,将直线与椭圆方程联立,
消去y,整理得,
则,整理得,
又,解得或（舍去）,所以,
即椭圆C的方程为；
（2）设,切线方程为,
将切线方程与椭圆联立,
消去y,整理得,
则,
整理得,
设切线斜率为,直线斜率为,
则,,且,,
所以,
将,代入上式,整理得,
当时,上述等号成立,即的最小值为4.
(二) 利用求距离
设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则|AB|＝|x2－x1|.
其中求|x2－x1|通常使用根与系数的关系,即作如下变形：|x2－x1|＝,
【例2】(2022届陕西省安康市高三下学期联考)已知椭圆长轴的顶点与双曲线实轴的顶点相同,且的右焦点到的渐近线的距离为．
(1)求与的方程；
(2)若直线的倾斜角是直线的倾斜角的倍,且经过点,与交于、两点,与交于、两点,求．
【解析】（1）由题意可得,则．
因为的渐近线方程为,即,
椭圆的右焦点为,由题意可得,,解得,
故椭圆的方程为,双曲线的方程为．
（2）设直线的倾斜角为,
所以,直线的斜率为,
所以直线的方程为,
联立得,则,
设、,则,,
所以,
联立可得,,
设点、,则,,
所以,,故．
(三) 利用求距离
设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则|AB|＝|y2－y1|.当消去x整理方程为关于y的一元二次方程常用此结论.其中求|y2－y1|时通常使用根与系数的关系,即作如下变形：|y2－y1|＝.
【例3】（2023届重庆市巴蜀中学校高三上学期月考）已知椭圆的离心率；上顶点为A,右顶点为,直线与圆相切.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设与圆相切的直线与椭圆相交于两点,为弦的中点,为坐标原点.求的取值范围.
【解析】（1）由知,
原点到直线的距离为,故,
故椭圆的标准方程为.
（2）时：,或,故；
直线斜率不存在时,,或．故；
直线斜率存在且不为0时：设直线的方程为（）,
由直线与圆相切,所以,即,
联立得,
设,
由韦达定理：,,,
所以中点的坐标为,
故
,
故,
,当且仅当,时等号成立,
综上：的取值范围是.
(四) 利用点到直线距离公式求垂线段的长
1.若已知定点P,点Q在动直线上,求最小值,常利用点到直线距离公式；
2.若点P在定直线上,点Q为曲线上,求最小值,有时可转换为与定直线平行的切线的切点到定直线的距离.
【例4】（2023届上海市华东师范大学第二附属中学高三上学期考试）设有椭圆方程,直线,下端点为,左､右焦点分别为在上.
(1)若中点在轴上,求点的坐标；
(2)直线与轴交于,直线经过右焦点,且,求；
(3)在椭圆上存在一点到距离为,使,当变化时,求的最小值.
【解析】（1）因为左焦点,所以,由题知,所以,,
又因为中点在轴上,所以点的纵坐标为1,代入中的,
所以点坐标为.
（2）
如图,设直线与轴交点为,
因为直线为,所以直线的倾斜角为,
①,
由题意知,,,,所以在中,,,
所以,整理可得,解得或,
又因为,所以,舍去,.
（3）设直线平移后与椭圆相切的直线方程为,联立,
得,,所以,
因为椭圆上存在点到直线的距离为,,即
所以①,同时,
又因为,所以①式右侧肯定成立,左侧可以整理为,
解得,
因为,所以当取得最小值时,有最大值,最大值为.
(五) 利用函数思想求距离最值
求圆锥曲线上的动点到一定点距离的最值,有时可设出动点坐标,利用距离公式把问题转化为函数求最值.
【例5】已知椭圆的长轴长为,点在上.
（1）求的方程；
（2）设的上顶点为A,右顶点