人教高中数学专题04 一元二次不等式与其他不等式(解析版).docx

专题04 一元二次不等式与其他不等式
【考纲要求】
1．理解必要条件、充分条件与充要条件的含义.
2．理解全称量词与存在量词的意义．
3．能正确地对含有一个量词的命题进行否
【思维导图】
【考点总结】
一、一元二次不等式的概念
一元二次不等式
定义
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，叫做一元二次不等式
表达式
ax2＋bx＋c＞0，ax2＋bx＋c＜0，ax2＋bx＋c≥0，ax2＋bx＋c≤0，其中a≠0，a，b，c均为常数
解集
ax2＋bx＋c＞0(a≠0)
解集是使f(x)＝ax2＋bx＋c的函数值为正数的自变量x的取值集合
ax2＋bx＋c＜0(a≠0)
解集是使f(x)＝ax2＋bx＋c的函数值为负数的自变量x的取值集合
ax2＋bx＋c≥0(a≠0)
解集是使f(x)＝ax2＋bx＋c的函数值大于或等于0的自变量x的取值集合
ax2＋bx＋c≤0(a≠0)
解集是使f(x)＝ax2＋bx＋c的函数值小于或等于0的自变量x的取值集合
二、一元二次不等式的解法
利用“三个二次”的关系我们可以解一元二次不等式．解一元二次不等式的一般步骤：
(1)将不等式变形，使一端为0且二次项系数大于0；
(2)计算相应的判别式；
(3)当Δ≥0时，求出相应的一元二次方程的根；
(4)根据对应二次函数的图像，写出不等式的解集．
三、一元二次不等式的恒成立问题
1．一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集是R的等价条件是a>0且Δ<0.
2．一元二次不等式ax2＋bx＋c<0的解集是R的等价条件是a<0且Δ<0.
3．分离参数，将恒成立问题转化为求最值问题，即：k≥f(x)恒成立⇔k≥f(x)max；k≤f(x)恒成立⇔k≤f(x)min.
四、“三个二次”(二次函数、一元二次方程、一元二次不等式)的关系
Δ＝b2－4ac
Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图像
ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根
有两个不相等的实根x1，x2，且x1＜x2
有两个相等的实数根x1，x2
没有实数根
ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集
{x|x＜x1或x＞x2}
R
ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集
{x|x1＜x＜x2}
∅
∅
五、分式不等式
（1）
（2）
（3）
（4）
六、绝对值不等式
（1）
（2）；
；
（3）含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分段法和图象法求解
【题型汇编】
题型一：一元二次不等式的解法
题型二：一元二次不等式的恒成立问题
题型三：分式不等式的解法
【题型讲解】
题型一：一元二次不等式的解法
一、单选题
1．（2022·江西九江·三模（理））已知集合，，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
先化简集合，再由交集的定义求解即可
【详解】
∵
∴，
故选：A.
2．（2022·江苏·苏州市第六中学校三模）设集合，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
化简集合A，根据交集运算求解.
【详解】
，，
，
故选：B       
3．（2022·海南海口·二模）已知x，且，则“”是“”的（       ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】
求出不等式的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
【详解】
因为，所以，则“”两边同除以即可得到“”，反过来同乘以即可，故“”是“”的充要条件．
故选：C.
4．（2022·天津·耀华中学二模）已知集合，，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
求得集合再求交集即可
【详解】
由题，，故
故选：D
5．（2022·山东烟台·三模）若集合，，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
首先解一元二次不等式求出集合，再根据补集、交集的定义计算可得；
【详解】
解：由，即，解得，
所以，
又，所以，
所以；
故选：B
6．（2022·广东广州·三模）已知命题，命题，则是的（       ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
先由和解出的范围，再由充分必要的定义判断即可.
【详解】
由解得，由解得或，显然，故是的充分不