人教高中数学专题04 圆锥曲线中的范围问题(解析版).docx

专题04 圆锥曲线中的范围问题
一、单选题
1．已知抛物线的焦点为F，，点是抛物线上的动点，则当的值最小时，=（ ）
A．1 B．2 C． D．4
【答案】B
【分析】
根据抛物线定义，转化，要使有最小值，只需最大，即直线与抛物线相切，联立直线方程与抛物线方程，求出斜率，然后求出点坐标，即可求解.
【详解】
由题知，抛物线的准线方程为，，过P作垂直于准线于，连接，由抛物线定义知.
由正弦函数知，要使最小值，即最小，即最大，即直线斜率最大，即直线与抛物线相切.
设所在的直线方程为：，联立抛物线方程：
，整理得：
则，解得
即，解得，代入得
或，再利用焦半径公式得
故选：B.
关键点睛：本题考查抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，解题的关键是要将取最小值转化为直线斜率最大，再转化为抛物线的切线，考查学生的转化思想与运算求解能力，属于中档题.
2．已知椭圆，直线l过椭圆C的左焦点F且交椭圆于A，B两点，的中垂线交x轴于M点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
当l：时，，设与椭圆联立可得：， 然后求得的中垂线方程，令 ，得，然后分别利用两点间的距离公式和弦长公式求得，，建立求解.
【详解】
椭圆的左焦点为,
当l：时，，，
所以，
设与椭圆联立，可得：
，
由韦达定理得：，
取中点为，
所以的中垂线方程为：
，
令 ，得，
所以，
又，
所以，
综上所述，
故选：B.
【点睛】
思路点睛：1、解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单．
2、设直线与椭圆的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则弦长为 (k为直线斜率)．
注意：利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式大于零．
3．已知点，分别为圆和椭圆上的点，则，两点间的最大距离是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】D
【分析】
求得圆心坐标和半径，设出椭圆上任意一点的坐标，利用，表示椭圆上的点到圆上点的最大距离的表达式，再利用三角函数求得其最大值.
【详解】
依题意可知圆心，半径是.
设椭圆上的点，
此时点到圆上的点的最大距离为，即 ，
由，得，即
所以的最大值为9，即，两点间的最大距离是9.
故选：D
【点睛】
本题主要考查圆和椭圆的位置关系，圆外一点到圆上的点的最大距离的表示，考查学生的换元思想以及化归与转化的数学思想方法，考查学生的运算能力，属于中档题.
4．已知直线：与椭圆：至多有一个公共点，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
由直线：与椭圆：至多有一个公共点，即联立方程，化简整理得，即可理解为双曲线外部的点（可行域），转化为线性规划的题，然后化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到的取值范围.
【详解】
联立方程，化简整理得：
因为直线：与椭圆：至多有一个公共点，
所以，即，
即点满足双曲线外部的点，即可行域，如图所示，为x轴，k为y轴，
将变形为，平移直线，
由图可知，当直线与双曲线相切时为临界条件.
联立，化简整理得：
由题知，，解得
若可行域是双曲线右支外部的点，即临界条件切线需要往上平移，即；
若可行域是双曲线左支外部的点，即临界条件切线需要往下平移，即；
综上可知，的取值范围是
故选：D.
【点睛】
本题考查直线与椭圆交点个数问题，考查用双曲线外部点作可行域，求线性目标函数的最值，考查学生的转化与化归思想，数形结合思想与运算求解能力，属于难题.
二、多选题
5．已知抛物线的焦点为，准线与轴交于点.点是抛物线上不同的两点.下面说法中正确的是（ ）
A．若直线过焦点，则以线段为直径的圆与准线相切；
B．过点与抛物线有且仅有一个公共点的直线至多两条；
C．对于抛物线内的一点，则；
D．若直线垂直于轴，则直线与直线的交点在抛物线上.
【答案】ACD
【分析】
过作准线于，过作准线于，计算得到A正确；直线包括两条切线和轴所在直线，B错误；，C正确；设，，计算交点验证得到答案
.
【详解】
如图一：过作准线于，过作准线于，
过中点作准线于，则，
故以线段为直径的圆与准线相切，A正确；
点与抛物线有且仅有一个公共点的直