人教高中数学专题11 平面向量综合问题（讲）【解析版】.docx

第一篇 热点、难点突破篇
专题 11 平面向量综合问题（讲）
真题体验 感悟高考
1．（2020·全国·统考高考真题）已知向量 ，满足， ，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】计算出、的值，利用平面向量数量积可计算出的值.
【详解】，，，.
，
因此，.
故选：D.
2．【多选题】（2022·全国·统考高考真题）已知O为坐标原点，过抛物线焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点，若，则（    ）
A．直线的斜率为 B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】由及抛物线方程求得，再由斜率公式即可判断A选项；表示出直线的方程，联立抛物线求得，即可求出判断B选项；由抛物线的定义求出即可判断C选项；由，求得，为钝角即可判断D选项.
【详解】对于A，易得，由可得点在的垂直平分线上，则点横坐标为，
代入抛物线可得，则，则直线的斜率为，A正确；
对于B，由斜率为可得直线的方程为，联立抛物线方程得，
设，则，则，代入抛物线得，解得，则，
则，B错误；
对于C，由抛物线定义知：，C正确；
对于D，，则为钝角，
又，则为钝角，
又，则，D正确.
故选：ACD.
3.（2022·天津·统考高考真题）在中，，D是AC中点，，试用表示为___________，若，则的最大值为____________
【答案】         
【分析】法一：根据向量的减法以及向量的数乘即可表示出，以为基底，表示出，由可得，再根据向量夹角公式以及基本不等式即可求出．
法二：以点为原点建立平面直角坐标系，设，由可得点的轨迹为以为圆心，以为半径的圆，方程为，即可根据几何性质可知，当且仅当与相切时，最大，即求出．
【详解】方法一：
，，
，当且仅当时取等号，而，所以．
故答案为：；．
方法二：如图所示，建立坐标系：
，，
，所以点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆，当且仅当与相切时，最大，此时．
故答案为：；．
总结规律 预测考向
（一）规律与预测
1.平面向量是高考的热点，命题突出向量的基本运算与工具性，在解答题中常与三角函数、直线和圆锥曲线的位置关系问题相结合，主要以条件的形式出现，涉及向量共线、数量积等.
2.常以选择题、填空题形式考查平面向量的基本运算，中低等难度；平面向量在解答题中一般为中等难度．
（二）本专题考向展示

考点突破 典例分析
考向一 平面向量的线性运算
【核心知识】
单位向量：长度等于1个单位的向量．
平行四边形法则
三角形法则
向量的数乘运算及其几何意义
（1）定义：实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫向量的数乘，记作λa，它的长度与方向规定如下：
①|λa|＝|λ||a|；
②当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0.
（2）运算律：设λ，μ是两个实数，则：
①；②；③.
【典例分析】
典例1.（2022·全国·统考高考真题）在中，点D在边AB上，．记，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据几何条件以及平面向量的线性运算即可解出．
【详解】因为点D在边AB上，，所以，即，
所以．
故选：B．
典例2.（2022春·安徽·高三校联考阶段练****如图，是以为直径的半圆圆周上的两个三等分点，为线段的中点，为线段上靠近的一个四等分点，设，，则（    ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】取的中点，连接，根据平面向量的线性运算计算即可.
【详解】如图，取的中点，连接，
因为是以为直径的半圆圆周上的两个三等分点，
所以，，所以，所以四边形是平行四边形，所以，
又为上靠近的一个四等分点，
所以
.
故选：C.
典例3.（2022春·安徽·高三石室中学校联考阶段练****在三角形ABC中，已知D，E分别为CA，CB上的点，且，，AE与BD交于O点，若，则mn的值为___________.
【答案】
【分析】因三点共线，则.
又三点共线，则.结合，可得答案.
【详解】因三点共线，则
.又，则，
得.
又因三点共线，则
.又，则，
得.
故，得.则.
故答案为：
【规律方法】
1．平面向量加减法求解的关键是：对平面向量加法抓住“共起点”或“首尾相连”．对平面向量减法应抓住“共起点，连两终点，指向被减向量的终点”，再观察图形对向量进行等价转化，即可快速得到结果．
2．在一般向量的线性运算中，只要把其中的向量当作一个字母看待即可，其运算方法类似于代数中合并同类项的运