人教高中数学专题14 平面向量的数量积及其应用(解析版).docx

专题14 平面向量的数量积及其应用
【考纲要求】
1、理解平面向量数量积的含义及其物理意义，了解平面向量的数量积与向量投影的关系．
2、掌握数量积的坐标表达式，进行平面向量数量积的运算．
3、能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系．
4、会用向量方法解决某些简单的平面几何问题，会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.
一、平面向量数量积的概念
【考点总结】
一、向量数量积的定义及性质
1.向量的数量积的定义
已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|cos θ叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ.
规定零向量与任一向量的数量积为0.
2.向量的数量积的性质
设a与b都是非零向量，θ为a与b的夹角.
(1)a⊥b⇔a·b＝0.
(2)当a与b同向时，a·b＝|a||b|；
当a与b反向时，a·b＝－|a||b|.
(3)a·a＝|a|2或|a|＝＝.
(4)cos θ＝.
(5)|a·b|≤|a||b|.
二、向量的数量积的几何意义
(1)投影的概念
如图2­4­1所示：＝a，＝b，过B作BB1垂直于直线OA，垂足为B1，则OB1＝|b|cos θ.
|b|cos θ叫做向量b在a方向上的投影，|a|cos θ叫做向量a在b方向上的投影.
图2­4­1
(2)数量积的几何意义：
a·b的几何意义是数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积.
2.向量数量积的运算律
(1)a·b＝b·a(交换律).
(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律).
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律).
二、面向量数量积的坐标表示
【考点总结】
一、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
1.平面向量数量积的坐标表示：
设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.
数量积
a·b＝x1x2＋y1y2
向量垂直
a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0
2.向量模的公式：设a＝(x1，y1)，则|a|＝.
3.两点间的距离公式：若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝.
4.向量的夹角公式：设两非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b 夹角为θ，则
cos θ＝＝.
【题型汇编】
题型一：平面向量数量积的概念
题型二：平面向量数量积的运算
题型三：平面向量数量积的坐标表示
【题型讲解】
题型一：平面向量数量积的概念
一、单选题
1．（2022·四川成都·三模（理））在中，已知，，，则向量在方向上的投影为（       ）．
A． B．2 C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
利用三角形内角和及正弦定理求得、，再根据向量投影的定义求结果.
【详解】
由题设，则，可得，
所以向量在方向上的投影为.
故选：C
2．（2022·山西临汾·三模（理））已知△ABC的外接圆圆心为O，且，，则向量在向量的方向上的投影为（       ）
A． B．－1 C．1 D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据平面加法的几何意义，结合三角形外心的性质、平面向量数量积的几何意义进行求解即可.
【详解】
由，
所以△ABC的外接圆圆心O是边的中点，即△ABC是以为斜边的直角三角形，
因为，所以，在直角三角形ABC中，
，即
因此向量在向量的方向上的投影为，
故选：C
3．（2022·贵州贵阳·模拟预测（理））已知平面向量是非零向量，，，则向量在向量方向上的投影为（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由垂直关系可构造方程求得，由投影定义可求得结果.
【详解】
由得：，解得：；
向量在向量方向上的投影为.
故选：B.
4．（2022·四川省宜宾市第四中学校二模（文））中，，，，则在方向上的投影为（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
利用余弦定理求出的长，再利用平面向量数量积的几何意义可求得结果.
【详解】
由余弦定理可得，即，解得，
因此，则在方向上的投影为.
故选：A.
5．（2022·内蒙古呼和浩特·二模（理））非零向量，，满足，与的夹角为，，则在上的正射影的数量为（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
利用垂直的向量表示，再利用正射影的数量的意义计算作答.
【详解】
非零向量，，满足，则，即，又与的夹角为，，
所以在上的正射影的数量.