人教高中数学专题19 解析几何中的定值、定点和定线问题（练）【解析版】.docx

第一篇 热点、难点突破篇
专题19解析几何中的定值、定点和定线问题（练）
【对点演练】
一、单选题
1．（2022·吉林·东北师大附中校考模拟预测）过点且与双曲线有且只有一个公共点的直线有（    ）条．
A．0 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】过点且分别与渐近线平行的两条直线与双曲线有且仅有一个交点；
过点且与双曲线相切的直线与双曲线有且仅有一个公共点．
【详解】由双曲线得其渐近线方程为．
①过点且分别与渐近线平行的两条直线与双曲线有且仅有一个交点；
②设过点且与双曲线相切的直线为，联立，
化为得到，解得．
则切线分别与双曲线有且仅有一个公共点．
综上可知：过点且与双曲线仅有一个公共点的直线共有4条．
故选:.
2．（2023秋·山东潍坊·高三统考期末）已知为坐标原点， 是抛物线上的动点，且，过点作，垂足为，下列各点中到点的距离为定值的是（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意可设直线的方程，联立抛物线方程再利用，可得，法一：可知H在圆上运动进行判断，法二再由得出的方程为，解得，代入选项逐一验证是否为定值即可得出答案.
【详解】法一：设直线方程为，
联立直线和抛物线方程整理得，
所以
又，即，所以可得，即；
则直线 过定点D（4,0）因为，则点H在为直径的圆上（其中圆心坐标为OD中点（2,0）），故（2,0）到H的距离为定值
故选：B
法二：设直线方程为，
联立直线和抛物线方程整理得，
所以
又，即，所以可得，即；
又因为，所以的方程为，解得
对于A，到点的距离为不是定值；
对于B，到点的距离为为定值；
对于C，到点的距离为不是定值；
对于D，到点的距离为不是定值.
故选：B
【点睛】方法点睛：定值问题通常思路为设出直线方程，与圆锥曲线方程联立，得到两根之和，两根之积，应用设而不求的思想，进行求解；注意考虑直线方程的斜率存在和不存在的情况.
二、多选题
3．（2023·全国·高三专题练****椭圆的上下顶点分别，焦点为，为椭圆上异于的一动点，离心率为，则（    ）
A．的周长为
B．离心率越接近，则椭圆越扁平
C．直线的斜率之积为定值
D．存在点使得，则
【答案】ABD
【分析】根据椭圆定义可知焦点三角形周长为，结合离心率转化即可知A正确；根据椭圆离心率与椭圆形状的关系可知B正确；设，结合两点连线斜率公式化简可得斜率之积，知C错误；将问题转化为当为短轴端点时，，利用余弦定理可构造齐次不等式求得的范围，知D正确.
【详解】对于A，由椭圆定义知：，又，，
的周长为，A正确；
对于B，，当越接近时，的值越小，则椭圆越扁平，B正确；
对于C，设，则，又，，
，C错误；
对于D，由椭圆性质知：当为短轴端点时，最大，
若存在点使得，则当为短轴端点时，，
此时，即，，
又，，D正确.
故选；ABD.
4．（2023·全国·模拟预测）已知抛物线，为轴正半轴上一点，则（    ）
A．存在点，使得过点任意作弦，总有为定值
B．不存在点，使得过点任意作弦，有为定值
C．存在点，使得过点任意作弦，总有为定值
D．不存在点，使得过点任意作弦，有为定值
【答案】AD
【分析】设，，，联立直线与抛物线方程得，由两点间的距离公式可得，当时，则有，从而可判断A正确，B错误；进而可得，可得此式不为定值，即可得故C错误，D正确.
【详解】解：设，，，
由，可得，
则有，
所以，
，
所以+，
所以当且仅当时，，
即存在点，使得为定值，故A正确，B错误；
由题意可得，
，
所以
，
如果为定值，
则必有，而此方程组无解，
所以不为定值，故C错误，D正确.
故选：AD.
三、解答题
5．（2022秋·江西萍乡·高三统考期末）已知椭圆E的中心在原点，周长为8的的顶点，为椭圆E的左焦点，顶点B，C在E上，且边BC过E的右焦点.
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)椭圆E的上、下顶点分别为M，N,点若直线PM,PN与椭圆E的另一个交点分别为点S，T，证明：直线ST过定点，并求该定点坐标.
【答案】(1)
(2)证明见解析，
【分析】（1）根据椭圆定义直接求解即可；
（2）求出的坐标，写出直线方程即可求出定点坐标.
【详解】（1）由题意知，椭圆E的焦点在x轴上，
所以设椭圆方程为，焦距为，
所以周长为，即，
因为左焦点，所以，，
所以，
所以椭圆E的标准方程为
（2）由题意知，，直线斜率均存在，
所以直线，与椭圆方程联立得，
对恒成立，
则，即，则，
同理，，
所以，
所以直线方程为