人教专题12 空间向量在立体几何中的应用 题型归纳讲义-2022届数学一轮复习（解析版）.docx

专题十二 《空间向量在立体几何中的应用》讲义
知识梳理.空间向量
1．平面的法向量
(1)直线的方向向量：如果表示非零向量a的有向线段所在直线与直线l平行或共线，则称此向量a为直线l的方向向量．
(2)平面的法向量：直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则向量a叫做平面α的法向量．
(3)方向向量和法向量均不为零向量且不唯一．
2．空间位置关系的向量表示
位置关系
向量表示
直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2
l1∥l2
n1∥n2⇔n1＝kn2(k∈R)
l1⊥l2
n1⊥n2⇔n1·n2＝0
直线l的方向向量为n，平面α的法向量为m
l∥α
n⊥m⇔n·m＝0
l⊥α
n∥m⇔n＝km(k∈R)
平面α，β的法向量分别为n，m
α∥β
n∥m⇔n＝km(k∈R)
α⊥β
n⊥m⇔n·m＝0
3．异面直线所成角
设异面直线a，b所成的角为θ，则cos θ＝， 其中a，b分别是直线a，b的方向向量．
4．直线与平面所成角
如图所示，设l为平面α的斜线，l∩α＝A，a为l的方向向量，n为平面α的法向量，φ为l与α所成的角，则sin φ＝|cos〈a，n〉|＝
5．二面角
(1)若AB，CD分别是二面角α­l­β的两个平面内与棱l垂直的异面直线，则二面角(或其补角)的大小就是向量与的夹角，如图(1)．
(2)平面α与β相交于直线l，平面α的法向量为n1，平面β的法向量为n2，〈n1，n2〉＝θ，则二面角α ­l ­β为θ或π－θ.设二面角大小为φ，则|cos φ|＝|cos θ|＝，如图(2)(3)．
6．利用空间向量求距离
(1)两点间的距离
设点A(x1，y1，z1)，点B(x2，y2，z2)，则|AB|＝||＝.
(2)点到平面的距离
如图所示，已知AB为平面α的一条斜线段，n为平面α的法向量，则B到平面α的距离为||＝.
题型一. 利用空间向量证明平行与垂直
1．如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA＝AB=12PD＝1．
（1）证明：PQ⊥平面DCQ；
（2）证明：PC∥平面BAQ．
【解答】解：如图，以D为坐标原点，射线DA为x轴的正半轴，射线DP为y轴的正半轴，射线DC为z轴的正半轴，建立空间直角坐标系Dxyz．
（1）依题意有Q（1，1，0），C（0，0，1），P（0，2，0），
则DQ→=(1，1，0)，DC→=(0，0，1)，PQ→=(1，−1，0)，
所以PQ→⋅DQ→=0，PQ→⋅DC→=0，
即PQ⊥DQ，PQ⊥DC且DQ∩DC＝D，
故PQ⊥平面DCQ；
（2）根据题意，DA→=(1，0，0)，AB→=(0，0，1)，AQ→=(0，1，0)，
故有DA→⋅AB→=0，DA→⋅AQ→=0，所以DA→为平面BAQ的一个法向量．
又因为PC→=(0，−2，1)，且DA→⋅PC→=0，即DA⊥PC，且PC⊄平面BAQ，
故PC∥平面BAQ．
2．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中AA1＝AD＝1，E为CD中点．
（1）求证：B1E⊥AD1；
（2）在棱AA1上是否存在一点P，使得DP∥平面B1AE？若存在，求AP的长；若不存在，说明理由．
【解答】（1）证明：连接A1D，B1C，
∵长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1＝AD＝1，
∴A1D⊥AD1，
∵A1B1⊥平面A1ADD1，
∴AD1⊥A1B1，
∵A1D∩A1B1＝A1，∴AD1⊥平面A1B1CD，
∵B1E⊂平面A1B1CD，
∴B1E⊥AD1；
（2）解：存在AA1的中点P，使得DP∥平面B1AE，证明如下：
取AA1的中点P，AB1的中点Q，连接PQ，
则PQ∥A1B1，且PQ=12A1B1，
∵DE∥A1B1，且DE=12A1B1，∴PQ∥DE且PQ＝DE
∴四边形PQDE为平行四边形，∴PD∥QE
又PD⊄平面AB1E，QE⊆平面AB1E
∴PD∥平面AB1E
此时AP=12AA1．

3．如图，四棱锥S﹣ABCD中底面ABCD是正方形，AS⊥底面ABCD，且AS＝AB，E是SC的中点，求证：平面BDE⊥平面ABCD．
【解答】证明：连结AC交BD于O，连结OE．
则OE是△SAC的中位线，
则OE∥SA，
∵AS⊥底面ABCD，
∴OE⊥平面ABCD，
∵OE⊂平面BDE，
∴平面BDE⊥平面ABCD．
题型二. 异面直线的夹角
1．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABC