人教专题15概率与分布列 15.1概率 题型归纳讲义-2022届数学一轮复习（解析版）.docx

专题十五 《概率与分布列》讲义
15.1 概率
知识梳理.概率
1．事件的相关概念
2．频数、频率和概率
(1)频数、频率：在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数，称事件A出现的比例fn(A)＝为事件A出现的频率．
(2)概率：对于给定的随机事件A，如果随着试验次数的增加，事件A发生的频率fn(A)稳定在某个常数上，把这个常数记作P(A)，称为事件A的概率．
3．事件的关系与运算
名称
条件
结论
符号表示
包含关系
若A发生，则B一定发生
事件B包含事件A(事件A包含于事件B)
B⊇A(或A⊆B)
相等关系
若B⊇A且A⊇B
事件A与事件B相等
A＝B
并(和)事件
A发生或B发生
事件A与事件B的并事件(或和事件)
A∪B(或A＋B)
交(积)事件
A发生且B发生
事件A与事件B的交事件(或积事件)
A∩B(或AB)
互斥事件
A∩B为不可能事件
事件A与事件B互斥
A∩B＝∅
对立事件
A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件
事件A与事件B互为对立事件
A∩B＝∅，P(A∪B)＝1
4．概率的几个基本性质
(1)概率的取值范围：0≤P(A)≤1.
(2)必然事件的概率为.
(3)不可能事件的概率为.
(4)概率的加法公式：如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．
(5)对立事件的概率：若事件A与事件B互为对立事件，则A∪B为必然事件，P(A∪B)＝
，P(A)＝1－P(B)．
5．古典概型
(1)特点：
①有限性：在一次试验中所有可能出现的结果只有有限个，即只有有限个不同的基本事件．
②等可能性：每个基本事件出现的可能性是均等的．
(2)计算公式：
P(A)＝
题型一. 随机事件——互斥、对立事件
1．袋中装有红球3个、白球2个、黑球1个，从中任取2个，则互斥而不对立的两个事件是（　　）
A．至少有一个白球；至少有一个红球
B．至少有一个白球；红、黑球各一个
C．恰有一个白球；一个白球一个黑球
D．至少有一个白球；都是白球
【解答】解：袋中装有红球3个、白球2个、黑球1个，从中任取2个，
在A中，至少有一个白球和至少有一个红球两个事件能同时发生，不是互斥事件，故A不成立；
在B中，至少有一个白球和红、黑球各一个两个事件不能同时发生但能同时不发生，
是互斥而不对立的两个事件，故B成立；
在C中，恰有一个白球和一个白球一个黑球两个事件能同时发生，不是互斥事件，故C不成立；
在D中，至少有一个白球和都是白球两个事件能同时发生，不是互斥事件，故D不成立．
故选：B．
2．在5张电话卡中，有3张移动卡和2张联通卡，从中任取2张，若事件“2张全是移动卡”的概率是310，那么概率是710的事件是（　　）
A．至多有一张移动卡 B．恰有一张移动卡
C．都不是移动卡 D．至少有一张移动卡
【解答】解：∵在5张电话卡中，有3张移动卡和2张联通卡，
从中任取2张，若事件“2张全是移动卡”的概率是310，
∴概率是710的事件是“2张全是移动卡”的对立事件，
∴概率是710的事件是“至多有一张移动卡”．
故选：A．
3．甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是12，乙获胜的概率是13，则下列说法正确的是（　　）
A．乙不输的概率是23 B．甲获胜的概率是13
C．甲不输的概率是12 D．乙输的概率是16
【解答】解：甲乙两人下棋比赛，记“两人下成和棋”为事件A，“乙获胜”为事件B，则A，B互斥，则P（A）=12，P（B）=13，
则乙不输即为事件A+B，由互斥事件的概率公式可得，P（A+B）＝P（A）+P（B）=12+13=56，
则甲胜的概率是1﹣P（A+B）＝1−56=16，
则甲不输即为甲获胜或和棋的概率为16+12=23，
乙输的概率是就是甲获胜的概率16，
故选：D．
4．（2012·湖南）某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如表所示．
一次购物量
1至4件
5至8件
9至12件
13至16件
17件以上
顾客数（人）
x
30
25
y
10
结算时间（分钟/人
1
1.5
2
2.5
3
已知这100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55%．
（Ⅰ）确定x，y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；
（Ⅱ）求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率．（将频率视为概率）
【解答】解：（Ⅰ）由已知得25+y+10＝55，x+30＝45，所以