人教专题15概率与分布列 15.4正态分布 题型归纳讲义-2022届数学一轮复习（解析版）.docx

专题十五 《概率与分布列》讲义
15.4 正态分布
题型一. 正正态分布
1．（2017•宝鸡三模）设随机变量ξ服从正态分布N（3，4），若P（ξ＜2a﹣3）＝P（ξ＞a+2），则a的值等于（　　）
A．53 B．73 C．3 D．5
【解答】解：∵P（ξ＜2a﹣3）＝P（ξ＞a+2），
∴2a﹣3+a+2＝6，
∴a=73．
故选：B．
2．（2018春•清远期末）设两个正态分布N1（μ1，σ12）和N2（μ2，σ22）的密度函数曲线如图所示，则有（　　）
A．μ1＜μ2，σ1＜σ2 B．μ1＜μ2，σ1＞σ2
C．μ1＞μ2，σ1＜σ2 D．μ1＞μ2，σ1＞σ2
【解答】解：从正态曲线的对称轴的位置看，显然μ1＜μ2，
正态曲线越“瘦高”，表示取值越集中，σ越小，
∴σ1＜σ2
故选：A．
3．（2021春•沈阳期末）设X～N（μ1，σ21），Y～N（μ2，σ22），这两个正态分布密度曲线如图所示，下列结论中错误的是（　　）
A．P（Y≥μ2）≥P（Y≥μ1）
B．P（X≤σ2）≤P（X≤σ1）
C．对任意正数t，P（X≤t）≥P（Y≤t）
D．对任意正数t，P（X≥t）≥P（Y≥t）
【解答】解：∵由图可知，μ1＜0＜u2，σ1＜σ2，
∴P（Y≥μ2）＜P（Y≥μ1），故A选项错误，
由图可得，P（X≤σ2）＞P（X≤σ1），故B选项错误，
由图可得，对任意实数t，P（X≤t）≥P（Y≤t），而P（X≤t）＝1﹣P（X≥t），P（Y≤t）＝1﹣P（Y≥t），故P（X≥t）＜P（Y≥t），故C选项正确，D选项错误．
故选：ABD．
4．（2016秋•武汉期末）某市教育局为了了解高三学生体育达标情况，对全市高三学生进行了体能测试，经分析，全市学生体能测试成绩X服从正态分布N（80，σ2）（满分为100分），已知P（X＜75）＝0.3，P（X≥95）＝0.1，现从该市高三学生中随机抽取3位同学．
（1）求抽取的三位同学该次体能测试成绩在区间[80，85），[85，95），[95，100）各有一位同学的概率；
（2）记抽到的3位同学该次体能测试成绩在区间[75，85]内的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望E（ξ）．
【解答】解：（1）P(80≤X＜85)=12−P(X＜75)=0.2⋯（2分）P（85≤X＜95）＝0.3﹣0.1＝0.2，P（95≤X＜100）＝0.1，…（4分）
所以所求概率为 P=A33×0.2×0.2×0.1=0.024⋯（6分）
（2）ξ的可能值为0，1，2，3．则P(ξ=k)=C3k(0.4)k(0.6)3−k，k=0，1，2，3．，
P(ξ=0)=C30(0.4)0(0.6)3=0.216，
P(ξ=1)=C31(0.4)1(0.6)2=0.432，
P(ξ=2)=C32(0.4)2(0.6)1=0.288，
P(ξ=3)=C33(0.4)3(0.6)0=0.064
ξ
0
1
2
3
P
0.216
0.432
0.288
0.064
E（ξ）＝0×0.216+1×0.432+2×0.288+3×0.064＝1.2…（12分）
5．（2014•新课标Ⅰ）从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：
（Ⅰ）求这500件产品质量指标值的样本平均数x和样本方差s2（同一组中数据用该组区间的中点值作代表）；
（Ⅱ）由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N（μ，σ2），其中μ近似为样本平均数x，σ2近似为样本方差s2．
（i）利用该正态分布，求P（187.8＜Z＜212.2）；
（ii）某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值位于区间（187.8，212.2）的产品件数，利用（i）的结果，求EX．
附：150≈12.2．
若Z～N（μ，σ2）则P（μ﹣σ＜Z＜μ+σ）＝0.6826，P（μ﹣2σ＜Z＜μ+2σ）＝0.9544．
【解答】解：（Ⅰ）抽取产品的质量指标值的样本平均数x和样本方差s2分别为：
x=170×0.02+180×0.09+190×0.22+200×0.33+210×0.24+220×0.08+230×0.02＝200，
s2＝（﹣30）2×0.02+（﹣20）2×0.09+（﹣10）2×0.22+0×0.33+102×0.24+202×0.08+302×0.02＝150．
（Ⅱ）（i）由（Ⅰ）知Z～N（200，150），从而P（187.8＜Z＜212.2）＝P（200﹣12.2＜Z＜200+12.2）＝0.6826；