人教高中数学专题2 直线与圆锥曲线的位置关系（解析版）.docx

专题2 直线与圆锥曲线的位置关系
一、考情分析
直线与圆锥曲线的位置关系的常见题型,一是根据直线与圆锥曲线有两个交点,研究长度、面积、定点、定值等问题,二是判断直线与圆锥曲线的公共点个数,三是直线与圆锥曲线相切问题,其中第一类问题是高考考查频率最高的问题.
二、解题秘籍
(一)根据直线与圆锥曲线有两个交点研究圆锥曲线的性质
1.把直线l：与椭圆C：联立,当时直线l与椭圆C有2个交点；
2. 直线l：与双曲线C：联立得,当时直线l与双曲线C有2个交点；当时直线l与双曲线C的左右支各有一个交点；当时直线l与双曲线C的右支有2个交点；
3.直线l：与抛物线C：联立,得,当时直线l与抛物线C有2个交点.
【例1】（2023届重庆市南开中学校高三上学期9月月考）已知椭圆的离心率为,上顶点为D,斜率为k的直线l与椭圆C交于不同的两点A,B,M为线段AB的中点,当点M的坐标为时,直线l恰好经过D点.
(1)求椭圆C的方程：
(2)当l不过点D时,若直线DM与直线l的斜率互为相反数,求k的取值范围.
【解析】（1）由题意知,离心率,所以,
设,两式相减得,所以；
所以直线为,即,所以,椭圆方程为；
（2）设直线为,由得,
则,,,
所以,解得,,
因为l不过D点,则,即
则,化简得,
解得,,
所以或.
【例2】（2023届广东省部分学校高三上学期联考）设直线与双曲线：的两条渐近线分别交于,两点,且三角形的面积为.
(1)求的值；
(2)已知直线与轴不垂直且斜率不为0,与交于两个不同的点,,关于轴的对称点为,为的右焦点,若,,三点共线,证明：直线经过轴上的一个定点.
【解析】（1）双曲线：的渐近线方程为,
不妨设,
因为三角形的面积为,所以,
所以,又,所以.
（2）双曲线的方程为：,所以右焦点的坐标为,
若直线与轴交于点,故可设直线的方程为,
设,,则,
联立,得,
且,
化简得且,
所以,,
因为直线的斜率存在,所以直线的斜率也存在,
因为,,三点共线,所以,
即,即,
所以,
因为,所以,
所以,
所以,
化简得,所以经过轴上的定点.
【例3】（2023届福建省漳州市高三上学期第一次教学质量检测）已知抛物线：,直线过点.
(1)若与有且只有一个公共点,求直线的方程；
(2)若与交于,两点,点在线段上,且,求点的轨迹方程.
【解析】（1）当直线斜率不存在时,其方程为,符合题意；
当直线斜率存在时,设直线的方程为,
由,得.
当时,直线符合题意；
当时,令,解得,
∴直线的方程为,即.
综上,直线的方程为,或,或.
（2）设,,,不妨令,
∵直线与抛物线有两个交点,∴,
∴,且,,.
由,得,∴,
∴,∴.
∵,且,∴,且,
∴点的轨迹方程为（,且）.
(二)根据直线与圆锥曲线有一个公共点研究圆锥曲线的性质
1.直线与椭圆有一个公共点,则直线与椭圆相切,可把直线方程与椭圆方程联立,整理成关于x或y的一元二次方程,由求解；
2. 直线l：与双曲线C：联立得,当或时直线l与双曲线C有1个交点,即直线与双曲线相切或与渐近线平行时与双曲线有1个公共点；
3.当直线l：与抛物线C：联立,得,当或 时直线l与抛物线C有1个交点,即直线与抛物线相切或与抛物线准线垂直时直线与抛物线有1个公共点.
【例4】（2023届湖北省荆荆宜三校高三上学期9月联考）设椭圆：,,是椭圆的左、右焦点,点在椭圆上,点在椭圆外,且．
(1)求椭圆的方程；
(2)若,点为椭圆上横坐标大于1的一点,过点的直线与椭圆有且仅有一个交点,并与直线,交于M,N两点,为坐标原点,记,的面积分别为,,求的最小值．
【解析】（1）因为点在椭圆上,所以,①
因为点在椭圆外,且,所以,即,②
由①②解得,,
故椭圆的方程为．
（2）设点,,设直线：,
由椭圆性质以及点的横坐标大于1可知,,
将直线代入方程并化简可得,,
即,
因为直线与椭圆有且仅有一个交点,
所以,即．
直线的方程为：；直线的方程为：,
联立方程得,同理得,
所以,
所以,,
所以
,
令,则,
当且仅当,即时,不等式取等号,
故当时,取得最小值．
【例5】已知双曲线C：的焦距为4,且过点.
(1)求双曲线方程；
(2)若直线与双曲线C有且只有一个公共点,求实数的值.
【解析】（1）由题意可知双曲线的焦点为和,
根据定义有．
,又,所以,,．
所求双曲线的方程为．
（2）因为双曲线的方程为,所以渐近线方程为；
由,消去整理得．
①当即时,此时直线与双曲线的渐近线平行,此时直线与双曲线相交