人教高中数学专题3-7 利用导函数研究双变量问题(解析版）.docx

专题3-7利用导函数研究双变量问题
目录
专题3-7利用导函数研究双变量问题 1
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题型一：分离双参，构造函数 1
②根据分离后的不等式结构的对称性，构造新函数； 3
题型二：糅合双参（比值糅合） 6
题型三：糅合双参（差值糅合） 14
题型四：利用对数平均（指数平均）不等式解决双变量问题 19
题型五：最值定位法解决双参不等式问题 26
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题型一：分离双参，构造函数
【典例分析】
例题1．（2022·辽宁·沈阳市第三十一中学高三阶段练****均有成立，则的取值范围为___________.
【答案】
【详解】不妨设，则，
由可得，
所以，
即，
所以，
令，则，
因为，所以在上单调递减，
所以对于恒成立，
所以对于恒成立，
可得对于恒成立，
所以，因为在上单调递减，
所以，
所以，
故答案为：
例题2．（2022·全国·高三专题练****已知函数.
（1）求函数的单调区间；
（2）证明：，，.
【答案】（1）单调递减区间，单调递增区间为；（2）证明见解析.
【详解】解：（1）由，则，，
，
令，解得；令，解得.
所以函数的单调递减区间，单调递增区间为.
（2）证明：，要证明.
即证明：.
即证明：.
令，，且.
，所以函数在上单调递减，
则，由，则，
所以，
即：，，成立.
【提分秘籍】
①在含有双参（，）的不等式中，将双参分别分离到不等式左右两边；
②根据分离后的不等式结构的对称性，构造新函数；
③证明构造函数的单调性，利用单调性证明结论
【变式演练】
1．（2022·四川·阆中中学高二阶段练****理））若实数满足，则（    ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】∵
∴ ，
即  
∴，
设，则有，即，
∴，
令，则，
∴当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
∴，即，
要使成立等价于成立，
只有当时，即时才满足，
∴
∴，∴.
故选：A.
2．（2022·广西玉林·模拟预测（理））已知，都是正整数，且，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因为，所以，令，
所以，故在上单调递增，由已知得，
故，因为，都是正整数，即.
故选：A.
2．（2021·四川省泸县第二中学一模（理））已知函数的图像在处的切线与直线平行．
(1)求函数的单调区间；
(2)若，且时，，求实数m的取值范围．
【答案】(1)在递增，在递减
(2)
(1)
的导数为，
可得的图象在处的切线斜率为，
由切线与直线平行，可得，即，
，，
由，可得，由，可得，则在递增，在递减．
(2)因为，若，由，
即有恒成立，设，
所以在为增函数，即有对恒成立，
可得在恒成立，由的导数为，
当，可得，在递减，在递增，
即有在处取得极小值，且为最小值可得，解得
则实数m的取值范围是．
题型二：糅合双参（比值糅合）
【典例分析】
例题1．（2022·山东德州·高三期中）已知函数.
(1)求在的最小值；
(2)若方程有两个不同的解，且成等差数列，试探究值的符号.
【答案】(1)答案见解析；
(2)正，理由见解析
【详解】（1）.
当 时， 在 单调递减， ；
当 时， 在 单週递减， ；
当 时， 时， 时， ， 所以 在 单週递减， 在 单调递增，
综上，当 时， ；当 时， .
（2）值的符号为正，理由如下：
由 (1) 知， 当 时， 单调递减， 不符合題意.
当 时， 在 单调递减， 在 单调递增.
不妨设 ，由方程 有两个不同的解 ，
则 ， 整理得
.
令 ， 则 ，令 ，
在 单调递增， .故 得证
例题2．（2022·山东威海·三模）已知函数．
(1)当时，求的单调区间；
(2)若有两个极值点，且，从下面两个结论中选一个证明．
①；
【答案】(1)的单增区间为；单减区间为，
(2)证明见解析
（1），当时，，令，解得；令
，解得或，所以的单增区间为；单减区间为，．
（2）证明①：由题意知，是的两根，则，，将代入得，，要证明，只需证明，即，因为，所以，只需证明，令，则，只需证明，即，令，，所以在上单调递减，可得，所以，综上可知，．
【提分秘籍】
利用换元法解决双变量问题，将要证明的不等式或目标代数式通过变形成关于（或等）的整体结构，通过将（或等）换元成把问题化归成单变量问题来处理.这一方法也称为“齐次换元”。
【变式演练】
1．