人教高中数学专题04 利用导数求函数的极值(解析版).docx

专题04 利用导数求函数的极值
专项突破一 函数极值(点)的辨析
一、单选题
1．已知函数，则（       ）
A．有极小值，无极大值 B．有极大值，无极小值
C．既有极小值又有极大值 D．无极小值也无极大值
【解析】由题意函数，可得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；当时，，单调递增，
所以当时，函数取得极大值；当时，函数取得极小值.故选：C.
2．“”是“函数在处有极值”的（       ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【解析】若函数在处有极值，不一定有，如，在处无导数，但是极小值点；反之，若，函数在处不一定有极值，如在处满足，但在处无极值．所以“”是“函数在处有极值”的既不充分也不必要条件．
故选：D．
3．关于函数的极值，下列说法正确的是（       ）
A．导数为零的点一定是函数的极值点
B．函数的极小值一定小于它的极大值
C．一个函数在它的定义域内最多只有一个极大值和一个极小值
D．若一个函数在某个区间内有极值，则这个函数在该区间内不是单调函数
【解析】对于A选项，取，则，，当时，，
故不是函数的极值点，故A不正确；
极值是函数的局部性质，极大值与极小值之间一般来说没有大小关系，故B不正确；
一个函数在它的定义域内可能有多个极大值和极小值，故C不正确；
若一个函数在某个区间内有极值，则这个函数在该区间内不是单调函数，D正确.
故选：D.
4．函数的极值点的个数是（       ）
A． B． C． D．无数个
【解析】由题，，故无极值点，故选：A
二、多选题
5．设函数的定义域为，是的极小值点，以下结论一定正确的是（       ）
A．是的最小值点 B．是的极大值点
C．是的极大值点 D．是的极大值点
【解析】对A，是的极小值点，不一定是最小值点，故A错误；
对B，因函数与函数的图象关于x轴对称，故应是的极大值点，故B正确；
对C，因函数与函数的图象关于y轴对称，故应是的极小值点，故C错误；
对D，因函数与函数的图象关于原点对称，故是的极大值点，故D正确.
故选：BD.
6．设，函数，则下列说法正确的是（       ）
A．当时，函数没有极大值，有极小值
B．当时，函数既有极大值也有极小值
C．当时，函数有极大值，没有极小值
D．当时，函数没有极值
【解析】，
令，则
选项A：当时，，则单调递增
，，
则可令
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
则函数没有极大值，有极小值.判断正确；
选项B：当时，，则单调递增
，，
则可令
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
则函数没有极大值，有极小值.判断错误；
选项C：当时，，则单调递增
又，
则当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
则函数没有极大值，有极小值.判断错误；
选项D：当时，
由，可得，由，可得
则在单调递减，在单调递增
则当时，函数取极小值
故在恒成立，
即在恒成立，则单调递增，
故函数没有极值.判断正确.
故选：AD
7．下列说法正确的是（       ）
A．极值点处的导数值为
B．极大值一定比极小值大
C．可导函数在闭区间内的最大值必在极值点或区间端点处取得
D．如果函数的定义域为，且在上递减，在上递增，则的最小值为
【解析】对于A，函数的极值点处未必可导，如是的极值点，但在处不可导，A错误；
对于B，函数的极大值和极小值可能有无数个，是由函数的单调性得到的，大小关系不确定，B错误；
对于C，可导函数在闭区间内连续，其最值必在极值点或区间端点处取得，则最大值也必在极值点或区间端点处，C正确；
对于D，由单调性可知，函数在区间内有唯一的极小值点，且根据单调性可知其为最小值点，即最小值为，D正确.
故选：CD.
8．对于定义在R上的可导函数，为其导函数，下列说法不正确的是（       ）
A．使的一定是函数的极值点
B．在R上单调递增是在R上恒成立的充要条件
C．若函数既有极小值又有极大值，则其极小值一定不会比它的极大值大
D．若在R上存在极值，则它在R一定不单调
【解析】A选项，的不一定是函数的极值点，比如在处导函数的值为0，但不是的极值点，A说法错误；
在R上单调递增，可能会在某点导函数等于0，比如为单调递增函数，在处导函数值为0，故在R上单调递增不是在R上恒成立的充要条件，B说法错误；
若函数既有极小值又有极大值，则其极小值可能会比它的极大值大，比如，在处取得极大值-2，在处取得极小值2，极小值大于极大值，故C说法错误；