人教高中数学专题06 函数的单调性(解析版).docx

专题06 函数的单调性
专项突破一 判断或证明函数的单调性
1．下列函数中，在区间上单调递增的是（       ）
A． B． C． D．
【解析】对于A：定义域为，且，
所以当时，则函数在上单调递减，故A错误；
对于B：则，
所以当或时，则函数在和上单调递增，故B正确；
对于C：定义域为，则，
所以当或时，当或时，
所以函数在和上单调递增，在和上单调递减，故C错误；
对于D：，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，故D错误；
故选：B
2．已知函数满足，对任意有，若为锐角三角形，则一定成立的是（       ）
A． B．
C． D．
【解析】不妨设，则，又，
所以，所以在上单调递增，因为为锐角三角形，
所以，所以，所以，即，
因为在上单调递增，所以，故选：C
3．(多选)下列函数在定义域内既是奇函数又是减函数的有（       ）
A． B．
C． D．
【解析】，定义域是R，BCD三个选项中函数定义域都是R，
A中函数是奇函数，B中函数，是奇函数，
C中函数，是奇函数，
D中函数，，是奇函数，
A中函数在定义域内不是减函数，
B中函数由于是减函数，是增函数，因此是减函数，
C中函数，时，递增，递增，递增，所以递增，不是减函数，
D中，时，是减函数，由于其为奇函数，因此在上也递减，从而在定义域内递减，
故选：BD．
4．函数.
(1)判断并证明函数的单调性；
(2)判断并证明函数的奇偶性；
(3)解不等式.
【解析】(1)，任取，令，
则，
∵则，可得，
∴即，∴函数在上递增．
(2)的定义域为，∵即，
∴为定义在上的奇函数．
(3)即，
∵函数在上递增，
∴即或．
5．已知函数是定义在上的奇函数，且
(1)用定义证明在上单调递增；
(2)若，求实数m的取值范围．
【解析】(1)因为是定义在上的奇函数，
 所以，所以，所以 ，又因为，
所以，所以，    所以，经检验满足 ，
设任意，
 ，
 因为，以，
因为，所以，即，
所以在上单调递增.；
(2)因为是定义在上的奇函数， 所以，
等价于，又因为在上单调递增，
所以，解得，  所以实数m的取值范围是
6．函数是定义在上的奇函数，且．
(1)确定的解析式
(2)判断 在上的单调性，并利用函数单调性的定义证明；
(3)解关于的不等式．
【解析】(1)根据题意，函数是定义在上的奇函数，
则，解可得；又由，则有，解可得；
则
(2)由（1）的结论，，在区间上为增函数；
证明：设，则
又由，则，，，，
则，即，则函数在上为增函数.
(3)由（1）（2）知为奇函数且在上为增函数.
，
解可得：，即不等式的解集为.
7．已知函数定义域为，若对于任意的，都有，且时，有.
(1)证明：为奇函数；
(2)证明：在上是增函数；
(3)设，若，对所有，恒成立，求实数m的取值范围.
【解析】(1)因为有，
令，得，所以，
令可得：，
所以，故为奇函数．
(2)由（1）可知是定义在，上的奇函数，
由题意设，则
由题意时，有，
是在上为单调递增函数；
(3)由（1）（2）可知是上为单调递增函数,所以在上的最大值为
所以要使，对所有，恒成立，只要，
，由，可得，解得
所以实数的取值范围为
8．已知函数的定义域是，对定义域内的任意都有，且当时，.
(1)证明：当时，；
(2)判断的单调性并加以证明；
(3)如果对任意的，恒成立，求实数的取值范围.
【解析】(1)；；
当时，；；当时，.
(2)单调递减.证明：，，
，，，即，单调递减，
(3)函数的定义域是 ， ；
恒成立；
由（2），单调递减，恒成立，恒成立，
因为，当且仅当时等号成立，所以；
又有意义，所以，
综上：.
9．已知函数．
(1)证明：为奇函数．
(2)判断的单调性，并结合定义证明．
(3)若对任意，都有成立，求a的取值范围．
【解析】(1)∵，∴恒成立，故的定义域为R．
∵，∴，
故为奇函数．
(2)在R上单调递减．证明如下：令．
设，则
．
∵，，，∴，即，
故在上单调递减，可得在上单调递减．
又∵为奇函数，∴在R上单调递减．
(3)由(2)得在R上单调递减，
则对任意，都有成立，
即对任意，都有成立．
令，∵，∴．
由，得．
原不等式为，即．令函数．
∵函数和都在上单调递增，∴在上单调递增，
∴．故a的取值范围是．
专项突破二 求单调性区间
1．的单调增区间为（       ）
A． B． C． D．
【解析】