人教高中数学专题6 圆锥曲线中的定点问题（解析版）.docx

专题6 圆锥曲线中的定点问题
一、考情分析
定点问题一直是圆锥曲线中的热点问题，高考主要考查直线过定点问题，有时也会涉及圆过定点问题．
二、解题秘籍
(一) 求解圆锥曲线中定点问题的思路与策略
1．处理定点问题的思路：
(1)确定题目中的核心变量（此处设为）
(2)利用条件找到与过定点的曲线 的联系，得到有关与的等式
(3)所谓定点，是指存在一个特殊的点，使得无论的值如何变化，等式恒成立.此时要将关于与的等式进行变形，直至易于找到.常见的变形方向如下：
① 若等式的形式为整式，则考虑将含的项归在一组，变形为“”的形式，从而只需要先让括号内的部分为零即可
② 若等式为含的分式， 的取值一方面可以考虑使其分子为0，从而分式与分母的取值无关；或者考虑让分子分母消去的式子变成常数（这两方面本质上可以通过分离常数进行相互转化，但通常选择容易观察到的形式）
2．处理定点问题两个基本策略：
(1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点．
(2)特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关．
【例1】（2023届河南省顶级名校高三上学期月考）设分别是椭圆的左､右焦点，是上一点，与轴垂直.直线与的另一个交点为，且直线的斜率为.
(1)求椭圆的离心率；
(2)设是椭圆的上顶点，过任作两条互相垂直的直线分别交椭圆于两点，证明直线过定点，并求出定点坐标.
【解析】（1）由题意知，点在第一象限，是上一点且与轴垂直，
的横坐标为.当时，，即.
又直线的斜率为，所以，
即，即
则，解得或（舍去），
即.
（2）已知是椭圆的上顶点，则，
由（1）知，解得，
所以，椭圆的方程为，
设直线的方程为，
联立可得，
所以，
又，
，
化简整理有，得或.
当时，直线经过点，不满足题意；.
当时满足方程中，
故直线经过轴上定点.
【例2】椭圆C的焦点为，，且点在椭圆上．过点的动直线l与椭圆相交于
A，B两点，点B关于y轴的对称点为点D（不同于点A）．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）证明：直线恒过定点，并求出定点坐标．
【解析】（1）设椭圆C的标准方程为，
由已知得.
所以，，所以椭圆C的标准方程为.
（2）
当直线的斜率存在时，设直线的方程为．
由得.
设，，，则，
特殊地，当的坐标为时，，所以，，，
即，所以点B关于轴的对称点为，则直线的方程为.
当直线的斜率不存在时，直线的方程为.
如果存在定点Q满足条件，则为两直线交点，
，，
又因为
所以，即三点共线，故直线恒过定点，定点坐标为．
【点评】本题是先根据两条特殊的曲线的交点，然后再根据三点共线，判断直线恒过定点，
(二) 直线过定点问题
1.直线过定点问题的解题模型
2.求解动直线过定点问题，一般可先设出直线的一般方程：，然后利用题中条件整理出的关系，若，代入得，则该直线过定点.
【例3】（2023届福建省泉州市高三毕业班质量监测（一））已知椭圆过点．右焦点为，纵坐标为的点在上，且．
(1)求的方程：
(2)设过与轴垂直的直线为，纵坐标不为的点为上一动点，过作直线的垂线交于点，证明：直线过定点．
【解析】（1）设点，其中，则，
因为椭圆过点，则，
将点的坐标代入椭圆的方程，可得可得，解得，
因此，椭圆的标准方程为.
（2）证明：由对称性可知，若直线过定点，则点必在轴上，设点，
设点，则，
所以，直线的垂线的斜率为，
故直线的方程为，
在直线的方程中，令，可得，即点，
所以，直线的方程为，
因为点在直线上，所以，，
即，①
又因为，所以，，②
将②代入①可得，即，
，则，所以，直线过定点.
(三) 圆过定点问题
圆过定点问题的常见类型是以为直径的圆过定点P，求解思路是把问题转化为，也可以转化为
【例4】（2022届广西“智桂杯”高三上学期大联考）已知椭圆的右焦点为，与轴不重合的直线过焦点，与椭圆交于，两点，当直线垂直于轴时，.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设椭圆的左顶点为，，的延长线分别交直线于，两点，证明：以为直径的圆过定点.
【解析】（1）椭圆的右焦点，则半焦距，
当轴时，弦AB为椭圆的通径，即，则有，即，
而，于是得，又，解得，，
所以椭圆的方程为：.
（2）依题意，直线不垂直于y轴，且过焦点，设的方程为，，，
由得，，，
因点，则直线的方程为，令，得，
同理可得，于是有，
则
，
因此，，即在以为直径的圆上，
所以以为直径的圆过定点.
(四) 确定定点