人教高中数学专题07 函数的性质及其应用（解析版）.docx

专题07 函数的性质及其应用
1、【2022年全国甲卷】函数y=3x−3−xcosx在区间−π2,π2的图象大致为（       ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】令f(x)=(3x−3−x)cosx,x∈[−π2,π2]，
则f(−x)=(3−x−3x)cos(−x)=−(3x−3−x)cosx=−f(x)，
所以f(x)为奇函数，排除BD；
又当x∈(0,π2)时，3x−3−x>0,cosx>0，所以f(x)>0，排除C.
故选：A.
2、【2022年全国乙卷】已知函数f(x),g(x)的定义域均为R，且f(x)+g(2−x)=5,g(x)−f(x−4)=7．若y=g(x)的图像关于直线x=2对称，g(2)=4，则k=122f(k)=（       ）
A．−21 B．−22 C．−23 D．−24
【答案】D
【解析】因为y=g(x)的图像关于直线x=2对称，
所以g2−x=gx+2，
因为g(x)−f(x−4)=7，所以g(x+2)−f(x−2)=7，即g(x+2)=7+f(x−2)，
因为f(x)+g(2−x)=5，所以f(x)+g(x+2)=5，
代入得f(x)+7+f(x−2)=5，即f(x)+f(x−2)=−2，
所以f3+f5+…+f21=−2×5=−10，
f4+f6+…+f22=−2×5=−10.
因为f(x)+g(2−x)=5，所以f(0)+g(2)=5，即f0=1，所以f(2)=−2−f0=−3.
因为g(x)−f(x−4)=7，所以g(x+4)−f(x)=7，又因为f(x)+g(2−x)=5，
联立得，g2−x+gx+4=12，
所以y=g(x)的图像关于点3,6中心对称，因为函数g(x)的定义域为R，
所以g3=6
因为f(x)+g(x+2)=5，所以f1=5−g3=−1.
所以k=122f(k)=f1+f2+f3+f5+…+f21+f4+f6+…+f22=−1−3−10−10=−24.
故选：D
3、【2022年新高考2卷】已知函数f(x)的定义域为R，且f(x+y)+f(x−y)=f(x)f(y),f(1)=1，则k=122f(k)=（       ）
A．−3 B．−2 C．0 D．1
【答案】A
【解析】因为fx+y+fx−y=fxfy，令x=1,y=0可得，2f1=f1f0，所以f0=2，令x=0可得，fy+f−y=2fy，即fy=f−y，所以函数fx为偶函数，令y=1得，fx+1+fx−1=fxf1=fx，即有fx+2+fx=fx+1，从而可知fx+2=−fx−1，fx−1=−fx−4，故fx+2=fx−4，即fx=fx+6，所以函数fx的一个周期为6．
因为f2=f1−f0=1−2=−1，f3=f2−f1=−1−1=−2，f4=f−2=f2=−1，f5=f−1=f1=1，f6=f0=2，所以
一个周期内的f1+f2+⋯+f6=0．由于22除以6余4，
所以k=122fk=f1+f2+f3+f4=1−1−2−1=−3．
故选：A．
4、（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）设函数，则下列函数中为奇函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意可得，
对于A，不是奇函数；
对于B，是奇函数；
对于C，，定义域不关于原点对称，不是奇函数；
对于D，，定义域不关于原点对称，不是奇函数.
故选：B
5、（2021年全国高考甲卷数学（文）试题）下列函数中是增函数的为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】对于A，为上的减函数，不合题意，舍.
对于B，为上的减函数，不合题意，舍.
对于C，在为减函数，不合题意，舍.
对于D，为上的增函数，符合题意，故选：D.
6、（2021年全国高考甲卷数学（文）试题）设是定义域为R的奇函数，且.若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意可得：，
而，故.故选：C.
7、（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为是奇函数，所以①；
因为是偶函数，所以②．
令，由①得：，由②得：，
因为，所以，
令，由①得：，所以．
思路一：从定义入手．
所以．
思路二：从周期性入手
由两个对称性可知，函数的周期．
所以．故选：D．
8、（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ））设函数,则（ ）
A．是奇函数，且在(0,+∞)单调递增 B．是奇函数，且在(