人教高中数学专题22 抛物线 分层训练 （解析版）.docx

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专题22 抛物线
【练基础】
单选题
1．（2023春·全国·高三校联考）如图1所示，抛物面天线是指由抛物面（抛物线绕其对称轴旋转形成的曲面）反射器和位于焦点上的照射器（馈源，通常采用喇叭天线）组成的单反射面型天线，广泛应用于微波和卫星通讯等领域，具有结构简单、方向性强、工作频带宽等特点．图2是图1的轴截面，A，B两点关于抛物线的对称轴对称，F是抛物线的焦点，∠AFB是馈源的方向角，记为，焦点F到顶点的距离f与口径d的比值称为抛物面天线的焦径比，它直接影响天线的效率与信噪比等．如果某抛物面天线馈源的方向角满足，，则其焦径比为（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】建立直角坐标系，设抛物线的标准方程为：，，，代入抛物线方程可得，根据，解得与的关系，即可得出．
【详解】如图所示，建立直角坐标系，
设抛物线的标准方程为：，，
，代入抛物线方程可得：，解得，
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由于，得或（舍）
又，化为：，
解得或（舍）
.
故选：C.
2．（2023·福建莆田·统考二模）已知F为抛物线的焦点，A为C上的一点，中点的横坐标为2，则（    ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【分析】根据中点的横坐标求出点横坐标，进而由焦半径公式求出答案.
【详解】由题意得：，准线方程为，
设，则中点的横坐标为，
故，解得：，
由抛物线的焦半径可知：.
故选：B
3．（2023·北京平谷·统考模拟预测）已知抛物线，点O为坐标原点，并且经过点，若点P到该抛物线焦点的距离为2，则（    ）
A． B． C．4 D．
【答案】D
【分析】由焦半径公式列出方程，求出，得到，求出的长.
【详解】抛物线准线方程为，由焦半径可知：，解得：.
则，此时，则.
故选：D
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4．（2023·新疆·统考一模）若是抛物线的焦点，是抛物线上任意一点，的最小值为，且，是抛物线上两点，，则线段的中点到轴的距离为（    ）
A．3 B．2 C． D．
【答案】B
【分析】根据题意可知，利用抛物线的定义和梯形的中位线即可求解.
【详解】
根据题意可知
如图，取AB中点E，分别过点A、B、E作于点D、C、G，
DG与轴交于点H.
根据抛物线的定义可得：
.
因为GE为梯形ABCD的中位线，所以
所以线段的中点到轴的距离.
故选：B
5．（2023·河南·校联考模拟预测）已知抛物线的焦点为，过点的直线交于两点，当与圆相切时，的中点到的准线的距离为（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意，设直线的方程为，由直线与圆相切可得，再联立直线与抛物线方程，结合焦半径公式即可得到结果.
【详解】由题意知，设直线的方程为.
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因为直线与圆相切，
所以圆心到的距离，解得，
所以直线的方程为，联立，得，则，
所以的中点到的准线的距离为
.
故选:D
6．（2023·陕西榆林·统考一模）如图1，某建筑物的屋顶像抛物线，建筑师通过抛物线的设计元素赋予了这座建筑轻盈､极简和雕塑般的气质.若将该建筑外形弧线的一段按照一定的比例处理后可看成图2所示的抛物线的一部分，为抛物线上一点，为抛物线的焦点，若，且，则（    ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】写出焦点坐标，设，由得出点坐标，根据焦半径公式得，再由求得．
【详解】由题意知，设，则，
由抛物线的几何性质知，则，
所以，
所以，
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解得.
故选：A．
7．（2023·辽宁·校联考模拟预测）已知抛物线的焦点为F，点M在C上，点，若，则（    ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由抛物线的定义可得，求得，，由得∠MAF＝∠AMN，在△AMF中由正弦定理求得，即可得到答案．
【详解】由题意知点A为抛物线C的准线与x轴的交点，如图，
过点M作MN垂直于准线于点N，令，则，
由抛物线的定义可得，所以，所以．
又，所以∠MAF＝∠AMN，所以．
在△AMF中，由正弦定理得，
所以，
所以．
故选：B．
8．（2022·四川雅安·统考一模）过抛物线的焦点F且倾斜角为锐角的直线与C交于两点A，B（横坐标分别为
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，，点A在第一象限），为C的准线，过点A与垂直的直线与相交于点M．若，则（    ）
A．3 B．6 C．9 D．12
【答案】C
【分析】由已知可求得直线的斜率为，则直线的方程为，联立直线与抛物线的方程，可求出，，即可解得