人教高中数学专题24 圆锥曲线的离心率及范围必刷100题(解析版).docx

专题24 圆锥曲线的离心率及范围必刷100题
任务一:善良模式(基础)1-30题
一、单选题
1．已知双曲线，直线过双曲线的右焦点且斜率为，直线与双曲线的两条渐近线分别交于、两点（点在轴的上方），且，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据题设易知，结合已知条件可得渐近线斜率，进而可求双曲线的离心率.
【详解】
如下图所示：
由题意可知，直线与渐近线垂直，则，
又，则，故，则，则，
所以，该双曲线的离心率为.
故选：B.
2．已知圆：与中心在原点、焦点在坐标轴上的双曲线的一条渐近线相切，则双曲线的离心率为（ ）
A．或4 B．或2 C． D．2
【答案】B
【分析】
分双曲线的焦点在x轴上和y轴上，由圆心到渐近线的距离等于半径求解.
【详解】
圆：的圆心为，半径为1，
当双曲线的焦点在x轴上时，其渐近线方程为，
由题意得，即，
所以，
所以，
当双曲线的焦点在y轴上时，，
则，
故选：B
3．已知为双曲线（a＞0，b＞0）的左焦点，A点为双曲线的右顶点，B（0，-b），P为双曲线左支上的动点，若四边形FBAP为平行四边形，则双曲线的离心率为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
从平行四边形出发，可以得到，从而得到P点坐标，代入双曲线方程即可求解离心率.
【详解】
由题意得：，，设，因为四边形FBAP为平行四边形，所以，即可得：，，故，代入双曲线得
故选：B．
4．已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则此双曲线的离心率e为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】A
【分析】
根据题意渐近线的斜率为，所以该渐近线的方程为，所以，求得，利用，求得即可得解.
【详解】
∵双曲线的一条渐近线的倾斜角为，，
∴该渐近线的方程为，∴，
解得或（舍去），∴，
∴双曲线的离心率为．
故选：A．
5．已知，分别为椭圆的左､右焦点，过原点O且倾斜角为60°的直线l与椭圆C的一个交点为M，若，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
依题意可得，的值，由椭圆的定义可得a，c的关系，即求出离心率的值．
【详解】
解：依题意可得．
又
，，，．
故选：D．
6．设为双曲线的左､右焦点，过坐标原点的直线依次与双曲线的左､右支交于两点，若，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
判断四边形为矩形，运用双曲线的定义和直角三角形的勾股定理，结合离心率公式，计算可得所求值．
【详解】
解：设双曲线的半焦距为，可得，
即有四边形为矩形，
由双曲线的定义可得，
在直角三角形中，，
即有，
可得，
即
故选：．
7．已知双曲线：的左、右焦点分别为，，点在的右支上，直线与的左支交于点，若，且，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
由条件结合双曲线的定义可得，即，从而可得双曲线的离心率.
【详解】
由双曲线的定义可得，∵，
∴，即，
则的离心率为．
故选：D．
8．已知椭圆的左､右焦点分别是，，直线与椭圆交于，两点，，且，则椭圆的离心率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据椭圆的对称性可知，，设，由以及椭圆定义可得，，在中再根据余弦定理即可得到，从而可求出椭圆的离心率．
【详解】
由椭圆的对称性，得.设，则.由椭圆的定义，知，即，解得，故，.
在中，由余弦定理，得，即，则，故.
故选：B.
9．椭圆的上､下顶点分别为，右顶点为A，右焦点为F，，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
求出椭圆的焦点坐标，顶点坐标，利用垂直关系列出方程，转化求解即可.
【详解】
解：椭圆的上､下顶点分别为，
右顶点为A(a，0)，右焦点为F(c，0)，，可得=﹣1，
=1，解得e=.
故选：C.
10．已知圆：与双曲线：的渐近线相切，则的离心率为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据题意可得圆心到渐近线的距离为半径，可解得，即可求出离心率.
【详解】
由得，
所以圆心，半径，
双曲线：的一条渐近线为，
由题意得圆心到渐近线的距离，所以，
所以，所以.
故答案为：.
11．已知双曲线（，）的右焦点为，过作双曲线两渐近线的垂线垂足分别为点，（，分别在一、四象限），若，则该双曲线的离心率为（ ）
A．2 B