人教高中数学专题26 导数中的同构问题(解析版).docx

专题26 导数中的同构问题
在学****指对数的运算时，曾经提到过两个这样的恒等式：
(1)当a＞0且a≠1时，有，
(2)当a＞0且a≠1时，有
再结合指数与对数运算法则，可以得到下述结论(其中x＞0) (“ex”三兄弟与“lnx”三姐妹)
(3)，
(4)，
(6)，
再结合常用的切线不等式：，，，等，可以得到更多的结论
(7)，．
，．
(8)，
，
(9)，
，
1．已知不等式最小值为（ ）
B. C. D.
【解析】，
只需考虑其为负数的情况，，
，
令
故
2．已知对任意给定的的取值范围为：　 ．
【解析】
显然成立，
显然
.
3．若对任意，恒有，则实数的最小值为（       ）
A． B． C． D．
【解析】由题意可知，不等式变形为.
设，则
.
当时，即在上单调递减.
当时，即在上单调递增.
则在上有且只有一个极值点，该极值点就是的最小值点.
所以，即在上单调递增.
若使得对任意，恒有成立.
则需对任意，恒有成立.
即对任意，恒有成立，则在恒成立.
设则.
当时，，函数在上单调递增
当时，，函数在上单调递减
则在上有且只有一个极值点，该极值点就是的最大值点.
所以，即，则实数的最小值为.故选：D
4．若关于x的不等式恒成立，则a的取值范围是______．
【解析】整理为：，其中，
故，令，则，，注意到：，
其中，当时，令，解得：，令，解得：，则，满足题意；
当时，令得：，令得：，则在上单调递增，在上单调递减，且，，所以当时，，不合题意，舍去；
故不满足题意，舍去；
当时，令得：，令得：，所以在上单调递减，在上单调递增，且，，所以当时，，不合题意，舍去；
当时，，故不合题意，舍去.
综上：a的取值范围是.
5．已知，对任意的，不等式恒成立，则的最小值为___________.
【解析】∵对于任意，，不等式恒成立
∴对于任意，，即恒成立
当时，；当，，
设，则，所以在上单调递增，
由，知，即，即
设，，求导，令，得
当时，，单调递减；当时，，单调递增；
∴在处取得极大值，且为最大值，
所以时，不等式恒成立，故答案为：
6．若关于x的不等式恒成立，则实数a的取值范围为__________．
【解析】
若，时，，，∴，
此时不恒成立，∴，，
令，，
时，，，，
在单调递减，单调递增，∴，
，时，，，原不等式恒成立；

时，，令，，，
时，，时，，
在单调递减，在单调递增，∴，∴，
∴，即，∴，∴．故答案为：.
7．已知函数，若，求的取值范围.
【解析】将按照左右结构相同、变量移至一边的原则进行变形：
由移项得：
即，两边同时加（）得
即，
设，则，所以单增
所以，即
设，则，所以在单减，在单增，
所以，所以.
8．对于任意实数，不等式恒成立，求的取值范围.
【解析】解法一：将变形为，（说明：将参数移至一边）
两边同时乘x得（说明：目的是凑右边的结构）
即（说明：目的是凑左右两边的结构相同）（#）
设，则，单增
故由（#）得，
再令，则，易知当
所以，即.
解法二：将变形为，即
，设，易知单增
故（以下同解法一，从略）.
9．已知函数．
(1)求函数的单调区间；
(2)设函数，若函数有两个零点，求实数a的取值范围．
【解析】(1)函数的定义域为，
．
函数的单调递增区间为；单减区间为．
(2)要使函数有两个零点，即有两个实根，
即有两个实根．即．
整理为，
设函数，则上式为，
因为恒成立，所以单调递增，所以．
所以只需使有两个根，设．
由（1）可知，函数）的单调递增区间为；单减区间为，
故函数在处取得极大值，．
当时，；当时，，
要想有两个根，只需，解得：．
所以a的取值范围是．
10．已知，，．
(1)当时，求函数的极值；
(2)当时，求证：．
【解析】 (1)，当时，，即在上单调递减，
故函数不存在极值；
当时，令，得，
x
+
0
-
增函数
极大值
减函数
故，无极小值.
综上，当时，函数不存在极值；
当时，函数有极大值，，不存在极小值．
(2)显然，要证：，即证：，即证：，
即证：．令，故只须证：．
设，则，
当时，，当时，，
故在上单调递增，在上单调递减，
即，所以，从而有．故，即．
11．已知
(1)当时，求的单调性；
(2)讨论的零点个数．
【解析】 (1)因为，，
所以，
令，