人教高中数学专题32 利用均值和方差解决风险评估和决策型问题(解析版).docx

专题32 利用均值和方差解决风险评估和决策型问题
一、多选题
1．某赛季甲、乙两名篮球运动员各6场比赛得分情况用茎叶图记录，下列四个结论中，正确的是（ ）
A．甲运动员得分的极差大于乙运动员得分的极差
B．甲运动员得分的中位数大于乙运动员得分的中位数
C．甲运动员得分的平均值大于乙运动员得分的平均值
D．甲运动员的成绩比乙运动员的成绩稳定
【答案】ABC
【分析】
对各个选项分别加以判断：根据极差的定义结合图中的数据，可得出A正确；根据中位数的定义结合图中的数据，可得出B正确；通过计算平均数的公式结合图中的数据，可得出C正确；通过计算方差的公式，结合图中的数据，可得出D不正确．由此可以得出答案．
【详解】
首先将茎叶图的数据还原：
甲运动员得分：18 20 35 33 47 41
乙运动员得分：17 19 19 26 27 29
对于选项A，极差是数据中最大值与最小值的差，
由图中的数据可得甲运动员得分的极差为，
乙运动员得分的极差为，
得甲运动员得分的极差大于乙运动员得分的极差，故A正确；
对于选项B，甲数据从小到大排列：18 20 33 35 41 47
处于中间的数是33、35，所以甲运动员得分的中位数是34，
同理求得乙数据的中位数是22.5，
因此甲运动员得分的中位数大于乙运动员得分的中位数，故B正确；
对于选项C，甲运动员的得分平均值约为
，
乙运动员的得分平均值为
，
因此甲运动员的得分平均值大于乙运动员的得分平均值，故C正确；
对于选项D，分别计算甲、乙两个运动员得分的方差，方差小的成绩更稳定.
可以算出甲的方差为：
，
同理，得出乙的方差为：
因为乙的方差小于甲的方差，所以乙运动员的成绩比甲运动员的成绩稳定，
故D不正确.
故选：ABC.
【点睛】
本题考查了茎叶图、极差、平均数与方差等统计中常的几个知识点，属于中档题．值得注意的是数据的稳定性与数据的方差有关，方差越小的数据稳定性越好．
二、解答题
2．2020年五一期间，银泰百货举办了一次有奖促销活动，消费每超过600元(含600元)，均可抽奖一次，抽奖方案有两种，顾客只能选择其中的一种.方案一：从装有10个形状､大小完全相同的小球(其中红球2个，白球1个，黑球7个)的抽奖盒中，一次性摸出3个球其中奖规则为：若摸到2个红球和1个白球，享受免单优惠；若摸出2个红球和1个黑球则打5折；若摸出1个白球2个黑球，则打7折；其余情况不打折.方案二：从装有10个形状､大小完全相同的小球(其中红球3个，黑球7个)的抽奖盒中，有放回每次摸取1球，连摸3次，每摸到1次红球，立减200元.
（1）若两个顾客均分别消费了600元，且均选择抽奖方案一，试求两位顾客均享受免单优惠的概率；
（2）若某顾客消费恰好满1000元，试从概率角度比较该顾客选择哪一种抽奖方案更合算？
【答案】（1）；（2）选择第二种方案更合算.
【分析】
（1）选择方案一，利用积事件的概率公式计算出两位顾客均享受到免单的概率；
（2）选择方案一，计算所付款金额的分布列和数学期望值，选择方案二，计算所付款金额的数学期望值，比较得出结论.
【详解】
（1）选择方案一若享受到免单优惠，则需要摸出三个红球，
设顾客享受到免单优惠为事件，则，
所以两位顾客均享受到免单的概率为；
（2）若选择方案一，设付款金额为元，则可能的取值为、、、.
，，
，.
故的分布列为，
所以（元）.
若选择方案二，设摸到红球的个数为，付款金额为，则，
由已知可得，故，
所以（元）.
因为，所以该顾客选择第二种抽奖方案更合算.
【点睛】
方法点睛：本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望，解题步骤如下：
（1）判断随机变量的可能取值；
（2）说明随机变量取各值的意义（即表示什么事件）并求出取该值的概率；
（3）列表写出随机变量的分布列；
（4）利用期望公式求值
3．某蔬菜种植基地有一批蔬菜需要两天内采摘完毕，天气预报显示这两天每天是否有雨相互独立，无雨的概率都为0.8.现有两种方案可以选择：
方案一：基地人员自己采摘，不额外聘请工人，需要两天完成，两天都无雨收益为2万元，只有一天有雨收益为
1万元，两天都有雨收益为0.75万元.
方案二：基地额外聘请工人，只要一天就可以完成采摘.当天无雨收益为2万元，有雨收益为1万元.额外聘请工人的成本为万元.
问：（1）若不额外聘请工人，写出基地收益的分布列及基地的预期收益；
（2）该基地是否应该外聘工人