人教专题02 数列-【大题精做】冲刺2023年高考数学大题突破+限时集训（解析版）.docx

专题02 数列
数列一般作为全国卷第17题或第18题或者是19题，主要考查数列对应的求和运算以及相应的性质
考察题型一般为：
1 错位相减求和
2 裂项相消求和
3 （并项）分组求和
4 数列插项问题
5 不良结构问题
6 数列与其他知识点交叉问题
在新高考改革情况下，对于数列的思辨能力有进一步的加强，务必要重视
题型一：数列错位错位相减求和
1．已知为首项的等比数列，且，，成等差数列；又为首项的单调递增的等差数列，的前n项和为，且，，成等比数列．
(1)分别求数列，的通项公式；
(2)令，数列的前n项和为，求证：．
【答案】(1)，
(2)证明见解析
【分析】（1）由，，成等差数列求出公比可得的通项公式，由，，成等比数列求出公差可得的通项公式；
（2）利用错位相减可得可得答案.
【详解】（1）设等比数列的公比为数列的公差为
由题知：，即，
即，，解得，
所以，
又，即，即，
解得（舍）或，
所以；
（2），，，
，①
，②
由①②知：，
即，
∴．
1．若等差数列的前n项和为，数列是等比数列，并且 ，.
(1)求数列和的通项公式；
(2)求数列的前n项和；
(3)若，求数列的前n项和
【答案】(1)(2)(3)
【详解】（1）设 的公差为d， 的公比为q，
依题意有： ，
，解得 （舍）， ，
；
（2）令 ， ，
…①，
…②，
①-②得：

，
；
（3） ，

；
综上， ，， .
题型二：裂项相消求和
1 已知数列的前项的积记为，且满足.
(1)证明：数列为等差数列；
(2)设，求数列的前项和.
【答案】(1)证明见解析(2)
【详解】（1）当时，，
，即，
又当时，，得，
数列是以3为首项，2为公差的等差数列；
（2）由（1）得，
则，
.
1．已知正项数列的前项和为，且.
(1)证明：是等差数列.
(2)设数列的前项和为，若满足不等式的正整数的个数为3，求的取值范围.
【答案】(1)证明见解析(2)
【详解】（1）由可得，
当时，两式相减可得
，
又由可得解得
是以为首项，为公差的等差数列，
（2）由（1）可得，，
所以，
所以
因为在内单调递增，所以，单调递增，
因为，，所以满足不等式的正整数的个数为3，的取值范围为
题型三：（并项）分组求和
设是首项为1的等比数列，且满足成等差数列：数列各项均为正数，为其前n项和，且满足，则
(1)求数列和的通项公式；
(2)记为数列的前n项的和，证明：；
(3)任意，求数列的前项的和．
【答案】(1);.(2)证明见解析.(3).
【详解】（1）因为是首项为1的等比数列，且满足成等差数列，
设公比为q,，则，即，
故，所以；
数列各项均为正数，为其前n项和，且满足，
当时，，则，
当时，，，
两式相减得，即，
因为，故，
即数列为等差数列，故.
（2）证明：由（1）知，，
则，
故，
故
，
所以，
故，
当时，，
当时，
设，则，
当时，，时取等号，即，
当时,随n的增大而减小，
故的最大值为，
综合可得.
（3）任意，即，
设数列的前项的和为 ，
则
，

.
注：数学归纳法证明：；
证明：当时，等式左边，右边，等式成立；
假设时，，
则时，
，
即时，结论也成立，
综合可得.
1．已知数列满足,.
(1)记,写出,,,,并猜想数列的通项公式;
(2)证明（1）中你的猜想;
(3)若数列的前n项和为,求.
【答案】(1),,,,猜想(2)证明见解析(3)
【详解】（1）由题知,
因为,所以,
,,
,,
,,
综上:,,,,
猜想.
（2）由题意,知,,代入得,
于是,即,
因为,所以是以3为首项,2为公比的等比数列,
故.
（3）因为,
.
题型四：数列插项问题
1．记数列{an}的前n项和为Sn，对任意正整数n，有2Sn＝nan，且a2＝3.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)对所有正整数m，若ak＜2m＜ak＋1，则在ak和ak＋1两项中插入2m，由此得到一个新数列{bn}，求{bn}的前40项和.
【答案】(1)(2)1809
【详解】（1）由，则，两式相减得：，
整理得：，即时，，
所以时， ，
又时，，得，也满足上式.
故.
（2）由.所以，
又，