人教专题2.1 函数的概念及其表示-重难点题型精讲（举一反三）（新高考地区专用）（解析版）.docx

专题2.1 函数的概念及其表示-重难点题型精讲
1．函数
函数
两个集合A，B
设A，B是两个非空数集
对应关系f：A→B
如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f (x)和它对应
名称
称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数
函数记法
函数y＝f (x)，x∈A
2．函数的相等
同一函数：只有当两个函数的定义域和对应关系都分别相同时,这两个函数才相等,即是同一个函数.
3．函数的表示法
函数的三种表示法：解析法、列表法和图象法.
(1)解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系；
(2)列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系；
(3)图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系.
4．分段函数
若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．
5．抽象函数与复合函数
(1)抽象函数的概念：没有给出具体解析式的函数，称为抽象函数．
(2)复合函数的概念：若函数y=f(t)的定义域为A，函数t=g(x)的定义域为D，值域为C，则当CA时，称函数y=f(g(x))为f(t)与g(x)在D上的复合函数，其中t叫做中间变量，t=g(x)叫做内层函数，y=f(t)叫做外层函数.
【题型1 函数的概念】
【方法点拨】
(1)函数的定义要求第一个数集A中的任何一个元素在第二个数集B中有且只有一个元素与之对应，即可以
“多对一”，不能“一对多”，而B中有可能存在与A中元素不对应的元素．
(2)构成函数的三要素中，定义域和对应关系相同，则值域一定相同．
【例1】（2022春•三明期末）已知集合A＝{x|﹣2＜x≤1}，B＝{y|0＜y≤4}，则下列对应关系中是从集合A到集合B的函数是（　　）
A．f：x→y＝x+1 B．f：x→y＝ex C．f：x→y＝x2 D．f：x→y＝|x|
【解题思路】结合函数的值域和定义域之间的关系，根据函数的定义分别进行判断即可．
【解答过程】解：A，当x=−32时，y=−12，则集合B中没有元素和x对应，不是从集合A到集合B的函数，∴A错误，
B，∵﹣2＜x≤1，∴y＝ex∈（1e2，e]⫋（0，4]，满足函数的定义，是从集合A到集合B的函数，∴B正确，
C，当x＝0时，y＝0，则集合B中没有元素和x对应，不是从集合A到集合B的函数，∴C错误，
D，当x＝0时，y＝0，则集合B中没有元素和x对应，不是从集合A到集合B的函数，∴D错误，
故选：B．
【变式1-1】（2022春•兴庆区校级期末）设集合M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，那么下列四个图形中，能表示集合M到集合N的函数关系的有（　　）
A．①②③④ B．①②③ C．②③ D．②
【解题思路】根据题意，由函数的定义，在集合M中的任一元素在集合N中都要有唯一的一个元素和它对应，进而可以得到答案．
【解答过程】解：根据题意，依次分析4个图形，
对于①，其定义域为{x|0≤x≤1}，不符合题意，
对于②，符合题意，
对于③，符合题意，
对于④，集合M中有的元素在集合N中对应两个值，不符合函数定义，
故选：C．
【变式1-2】（2021春•九龙坡区期末）设A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|1≤y≤2}，图中表示A到B的函数的是（　　）
A． B．
C． D．
【解题思路】根据函数的定义，举反例，一一判断即可．
【解答过程】解：对于A，B均有函数值不在集合B内；对于C，它是一对多，不是函数的图象．
故选：D．
【变式1-3】（2021秋•锡山区校级期中）下列各式中，表示y是x的函数的有（　　）
①y＝x﹣（x﹣3）；
②y=x−2+1−x；
③y=x−1，x≤0x+1，x≥0；
④y=1，x为有理数0，x为无理数．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【解题思路】根据函数的定义即可判断．
【解答过程】解：根据函数的定义，当自变量x在它的允许取值范围内任意取一个值，y都有唯一确定的值与之对应，故①④表示y是x的函数，
在②中由x−2≥01−x≥0，知x∈∅，因为函数定义域不能是空集，所以②不表示y是x的函数，
在③中，当x＝0时，y对应的两个值，故不表示y是x的函数，
故选：C．
【题型2 函数的定义域问题】
【方法点拨】
①根据解析式有意义的条件，列出关于自变量的不等式（组），即可求解，把不等式（组）的解集表示成集合或区间的形式.
②已知函数的定义域求参数，结合解析式有意义的条件，列出关于参数的关系式，即可得解.
【例2】（2022