人教专题2.11 指数与指数函数-重难点题型精讲（举一反三）（新高考地区专用）（解析版）.docx

专题2.11 指数与指数函数-重难点题型精讲
1．分数指数幂
(1)＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)；＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义．
(2)有理数指数幂的运算性质：aras＝ar＋s，(ar)s＝ars，(ab)r＝arbr，其中a>0，b>0，r，s∈Q.
2．指数函数的图象与性质
y＝ax
a>1
0<a<1
图象
定义域
(1)R
值域
(2)(0，＋∞)
性质
(3)过定点(0,1)
(4)当x>0时，y>1；当x<0时，0<y<1
(5)当x>0时，0<y<1；当x<0时，y>1
(6)在(－∞，＋∞)上是增函数
(7)在(－∞，＋∞)上是减函数
3．底数对指数函数图象的影响
指数函数y=(a>0,且a≠1)的底数对图象的影响可以从不同角度来记忆理解.
(1)无论是a>1还是0<a<1，在第一象限内，自下而上，图象越高的指数函数的底数越大，即“底大图高”.
(2)左右比较：在直线y=1的上面，a>1时，a越大，图象越靠近y轴；0<a<1时，a越小，图象越靠近
y轴.
(3)上下比较：比较图象与直线x=1的交点，交点的纵坐标越大，对应的指数函数的底数越大.
【题型1 指数幂的运算】
指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：
(1)必须同底数幂相乘，指数才能相加，运算的先后顺序．
(2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数．
(3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．
【例1】（2022•稷山县校级开学）3×332×612的化简结果为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．6
【解题思路】直接利用指数的运算的应用求出结果．
【解答过程】解：3×332×612=312×313×2−13×316×216×216=31×20=3．
故选：B．
【变式1-1】（2021秋•沈阳月考）下列运算结果中，正确的是（　　）
A．（﹣a2）3＝（﹣a3）2 B．（﹣a2）3＝a6
C．a2•a3＝a5 D．nan=a
【解题思路】利用指数幂的运算性质逐个判断各个选项即可．
【解答过程】解：对于选项A：（﹣a2）3＝﹣a6，（﹣a3）2＝a6，故选项A错误，
对于选项B：（﹣a2）3＝﹣a6，故选项B错误，
对于选项C：a2•a3＝a5，故选项C正确，
对于选项D：当n为偶数时，nan=|a|；当n为奇数时，nan=a，故选项D错误，
故选：C．
【变式1-2】（2022•茂名模拟）下列根式与分数指数幂的互化正确的是（　　）
A．−x=(−x)12 B．x−34=4(1x)3(x＞0)
C．6y2=y13 D．[3(−x)2]34=x12(x＜0)
【解题思路】根据指数幂的运算法则化简判断即可．
【解答过程】解：对于A：−x=−x12，故A不成立；
对于B：x−34=4(1x)3（x＞0），故B成立；
对于C：6y2=|y|13，故C不成立；
对于D：[3(−x)2]34=（﹣x）23）34=（﹣x）12，x＜0，故D不成立．
故选：B．
【变式1-3】（2021秋•惠阳区校级月考）（112）0﹣（1﹣0.5﹣2）÷3(278)2的值为（　　）
A．−13 B．13 C．43 D．73
【解题思路】根据指数幂的运算性质即可求出．
【解答过程】解：原式＝1﹣（1﹣4）÷（32）2＝1+3×49=73．
故选：D．
【题型2 指数方程】
指数方程常见的类型有：(1) f(x)=g(x)；(2)=0.
其中类型(1)利用同底法解，类型(2)利用换元法解.
【例2】（2021秋•凉州区校级月考）解方程：
（1）9﹣x﹣2•31﹣x＝27；
（2）6x+4x＝9x．
【解题思路】（1）把原方程化为关于3﹣x的一元二次方程求解，然后求解指数方程得答案；
（2）把原方程化为关于(23)x的一元二次方程求解，然后求解指数方程得答案．
【解答过程】解：（1）由9﹣x﹣2•31﹣x＝27，得
（3﹣x）2﹣6•3﹣x﹣27＝0，
即（3﹣x+3）（3﹣x﹣9）＝0，
而3﹣x+3≠0，
∴3﹣x﹣9＝0，
3﹣x＝32，
x＝﹣2；
（2）由6x+4x＝9x，得
(23)x+(49)x=1，
(23)2x+(23)x−1=0，
解得(23)x=5−12．
x=log235−12．
【变式2-1】（2021秋•芜湖期末）解关于x的方程4x﹣2x+1﹣3＝0．
【解题思路】方程4x﹣2x+1﹣