人教专题3.1 导数的概念及运算-重难点题型精讲（举一反三）（新高考地区专用）（解析版）.docx

专题3.1 导数的概念及运算-重难点题型精讲
1．导数的概念
(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数
一般地，称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率
＝为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝＝．
(2)导数的几何意义
函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x0，y0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)．
(3)函数f(x)的导函数
称函数f′(x)＝为f(x)的导函数．
2．基本初等函数的导数公式
原函数
导函数
f(x)＝c(c为常数)
f′(x)＝0
f(x)＝xn(n∈Q*)
f′(x)＝nxn－1
f(x)＝sin x
f′(x)＝cos_x
f(x)＝cos x
f′(x)＝－sin_x
f(x)＝ax
(a>0且a≠1)
f′(x)＝axln_a
f(x)＝ex
f′(x)＝ex
f(x)＝logax
(x>0，a>0且a≠1)
f′(x)＝
f(x)＝ln x (x>0)
f′(x)＝
3.导数的运算法则
(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)．
(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)．
(3)′＝(g(x)≠0)．
4．复合函数的导数
复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．
【题型1 利用导数的定义解题】
【方法点拨】
利用导数的定义，转化求解即可.
【例1】（2022•庐阳区校级开学）已知函数f（x）在x＝x0处的导数为12，则limΔx→0f(x0−Δx)−f(x0)3Δx=（　　）
A．﹣4 B．4 C．﹣36 D．36
【解题思路】由已知结合导数的定义即可求解．
【解答过程】解：因为函数f（x）在x＝x0处的导数为12，
则limΔx→0f(x0−Δx)−f(x0)3Δx=13lim△x→0f(x0−△x)−f(x0)−△x=−13f'(x0)=−13×12=−4．
故选：A．
【变式1-1】（2022春•哈尔滨期末）已知f'（x）是函数f（x）的导函数，若f'（2）＝4，则limx→0f(2+2x)−f(2)x=（　　）
A．4 B．2 C．8 D．﹣8
【解题思路】根据题意，由极限的性质可得limx→0f(2+2x)−f(2)x=2f′（2），进一步得到答案．
【解答过程】解：根据题意，由导数的定义，
可得limx→0f(2+2x)−f(2)x=2lim2x→0f(2+2x)−f(2)2x=2f'(2)=8．
故选：C．
【变式1-2】（2022春•尖山区校级期末）已知f（x）是定义在R上的可导函数，若limΔx→0f(3−Δx)−f(3+Δx)Δx=4，则f'（3）＝（　　）
A．0 B．﹣2 C．1 D．−12
【解题思路】根据题意，由极限的性质可得lim△x→0f(3−△x)−f(3+△x)(3−△x)−(3+△x)=−12limΔx→0f(3−Δx)−f(3+Δx)Δx，再由导数的定义得答案．
【解答过程】解：根据题意，f（x）是定义在R上的可导函数，
若limΔx→0f(3−Δx)−f(3+Δx)Δx=4，
则lim△x→0f(3−△x)−f(3+△x)(3−△x)−(3+△x)=−12limΔx→0f(3−Δx)−f(3+Δx)Δx=−2，
则f'（3）＝﹣2；
故选：B．
【变式1-3】（2022春•北海期末）已知函数f(x)=13x3+2，则limΔx→0f(1+Δx)−f(1)Δx=（　　）
A．1 B．5 C．7 D．6
【解题思路】利用导数的运算法则得到f'（1）＝1，再利用导数的几何意义求解．
【解答过程】解：∵f(x)=13x3+2，
∴f'（x）＝x2，则f'（1）＝1，
∴limΔx→0f(1+Δx)−f(1)Δx=f'(1)=1．
故选：A．
【题型2 导数的运算】
【方法点拨】
常见形式及具体求导6种方法：
连乘形式
先展开化为多项式形式，再求导
三角形式
先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导
分式形式
先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导
根式形式
先化为分数指数幂的形式，再求导
对数形式
先化为和、差形式，再求导
复合函数
先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换