人教专题4.9 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用-重难点题型精讲（举一反三）（新高考地区专用）（解析版）.docx

专题4.9 函数的图象及应用-重难点题型精讲
1．匀速圆周运动的数学模型
筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用(图5.6-2).明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理(图5.6-2).
假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动.
2．, A对函数的图象的影响
(1)对的图象的影响
函数（其中）的图象，可以看作是把正弦曲线上所有的点向左(当>0时)
或向右(当<0时)平移||个单位长度而得到(可简记为“左加右减”).
(2)对的图象的影响
函数的图象，可以看作是把的图象上所有点的横坐标缩短(当>1时)或
伸长(当0<<1时)到原来的倍(纵坐标不变)而得到.
(3)对的图象的影响
函数的图象，可以看作是把图象上所有点的纵坐标伸长(当A>1时)
或缩短(当0<A<1时)到原来的A倍(横坐标不变)而得到.
(4)由函数的图象得到函数的图象
以上两种方法的图示如下：
3．函数的图象
类似于正弦型函数，余弦型函数的图象的画法有以下两种.
(1)“五点法”，令，求出相应的x值及y值，利用这五个点，可以得到
在一个周期内的图象，然后再把这一段上的图象向左向右延伸，即得的图象.
(2)“变换作图法”的途径有两种.
一是类似于正弦型函数的变换作图法，可由的图象通过变换作图法得到 (>0,A>0)的图象，即：
二是由诱导公式将余弦型函数转化为正弦型函数，即
，再由的图象通过变换作图法得到的图象即可.
【题型1 函数的图象】
【方法点拨】
用“五点法”画函数 (x∈R)的简图，先作变量代换，令X=，再用方程思想由X取
来确定对应的x值，最后根据x,y的值描点、连线、扩展，画出函数的图象.
【例1】（2021·全国·高一专题练****用五点法作函数f(x)＝sin(2x−π3)的图象时，所取的“五点”是（    ）
A．(π6,0)，(5π12,1)，(2π3,0)，(11π12,−1)，(7π6,0)
B．(π6,0)，(5π12,1)，(2π3,0)，(11π12,−1)，(11π6,0)
C．(π6,0)，(5π12,1)，(2π3,1)，(11π12,−1)，(7π6,0)
D．(π6,0)，(5π12,0)，(2π3,0)，(11π12,−1)，(7π6,0)
【解题思路】令2x－π3＝0可得x＝π6，再由函数的最小正周期可得选项.
【解答过程】令2x－π3＝0可得x＝π6，又函数的最小正周期为T=2π2=π，则14T=π4，
所以五点的坐标依次是(π6,0)，(5π12,1)，(2π3,0)，(11π12,−1)，(7π6,0).
故选：A.
【变式1-1】（2022·全国·高一课时练****用“五点法”作函数y=cos4x−π6在一个周期内的图像时，第四个关键点的坐标是
A．5π12,0 B．−5π12,1
C．5π12,1 D．−5π12,0
【解题思路】利用余弦函数的五点作图求解即可
【解答过程】令4x−π6=3π2，得x=5π12.∴该点坐标为5π12,0.
故选A.
【变式1-2】（2022·广东揭阳·高一期末）某同学用“五点法”画函数fx=Asinωx+φω>0,φ<π2在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：
ωx+φ
0
π2
π
3π2
2π
x
π3
5π6
Asinωx+φ
0
5
−5
0
根据表格中的数据，函数fx的解析式可以是（    ）A．fx=5sin2x−π6 B．fx=5sin2x+π6
C．fx=5sin2x−π3 D．fx=5sin2x+π3
【解题思路】根据函数最值，可求得A值，根据周期公式，可求得ω值，代入特殊点，可求得φ值，即可得答案.
【解答过程】由题意得最大值为5，最小值为-5，所以A=5，
T2=5π6−π3=π2，解得T=π=2πω，解得ω=2，
又2×π3+φ=π2，解得φ=−π6，
所以fx的解析式可以是fx=5sin2x−π6，
故选：A.
【变式1-3】（2022·全国·高一课时练****用五点法作函数y=Asinωx+φA>0,ω>0,φ<π2的图象时，得到如下表格：
x
π6
2π3
ωx+φ
0
π2
π
3π2
2π
y
0
4
0
-4
0
则A，ω，φ的值分别为（    ）A．4，2，−π3 B．4，12，π3 C．4，2，π6 D．4，12，−π6
【解题