人教专题05 函数 5.2二次函数与幂函数 题型归纳讲义-2022届数学一轮复习（解析版）.docx

专题四 《函数》讲义
5.2 二次函数与幂函数
知识梳理.二次函数与幂函数
1．二次函数
(1)二次函数解析式的三种形式
①一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
②顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)．
③零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．
(2)二次函数的图象和性质
解析式
f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)
f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0)
图象
定义域
(－∞，＋∞)
(－∞，＋∞)
值域
单调性
在上单调递减；
在上单调递增
在上单调递增；
在上单调递减
对称性
函数的图象关于x＝－对称
2．幂函数
(1)定义：形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中底数x是自变量，α为常数．常见的五类幂函数为y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x，y＝x－1.
(2)五种幂函数的图象
(3)性质
①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；
②当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增；
③当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减．
题型一. 二次函数
考点1.二次函数根的分布、恒成立问题
1．函数f（x）＝ax2+（a﹣3）x+1在区间[﹣1，+∞）上是递减的，则实数a的取值范围是（　　）
A．[﹣3，0） B．（﹣∞，﹣3] C．[﹣2，0] D．[﹣3，0]
【解答】解：∵函数f（x）＝ax2+（a﹣3）x+1在区间[﹣1，+∞）上是递减的，
①当a＝0时，f（x）＝﹣3x+1，
∵﹣3＜0，
∴f（x）在R上单调递减，符合题意；
②当a＞0时，函数f（x）＝ax2+（a﹣3）x+1为二次函数，
∵二次函数在对称轴右侧单调递增，
∴不可能在区间[﹣1，+∞）上递减，
故不符合题意；
③当a＜0时，函数f（x）＝ax2+（a﹣3）x+1为二次函数，对称轴为x=−a−32a，
∵二次函数在对称轴右侧单调递减，且f（x）＝ax2+（a﹣3）x+1在区间[﹣1，+∞）上是递减的，
∴−a−32a≤−1，解得﹣3≤a＜0，
∴实数a的取值范围是﹣3≤a＜0．
综合①②③，可得实数a的取值范围是[﹣3，0]．
故选：D．
2．设f（x）＝x2﹣2x+a．若函数f（x）在区间（﹣1，3）内有零点，则实数a的取值范围为　（﹣3，1]　．
【解答】解：f（x）的对称轴为x＝1．
∵函数f（x）在区间（﹣1，3）内有零点，
∴△≥0f(−1)＞0，即4−4a≥03+a＞0，
解得﹣3＜a≤1．
故答案为（﹣3，1]．
3．方程mx2﹣（m﹣1）x+1＝0在区间（0，1）内有两个不同的根，则m的取值范围为（　　）
A．m＞1 B．m＞3+22
C．m＞3+22或0＜m＜3−2 D．3﹣22＜m＜1
【解答】解：构造函数f（x）＝mx2﹣（m﹣1）x+1，图象恒过点（0，1）
∵方程mx2﹣（m﹣1）x+1＝0在区间（0，1）内有两个不同的根，
∴m＞00＜m−12m＜1f(1)＞0△＞0
∴m＞0m＞1(m−1)2−4m＞0
∴m＞3+22
故选：B．
4．已知命题p：∃x∈R，x2+