人教专题05 函数 5.5单调性 题型归纳讲义-2022届数学一轮复习（解析版）.docx

专题四 《函数》讲义
5.5 单调性
知识梳理.单调性
1．增函数、减函数
定义：设函数f(x)的定义域为I：
(1)增函数：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数．
(2)减函数：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数．
2．单调性、单调区间
若函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做函数y＝f(x)的单调区间.
3.判断函数单调性常用方法
(1)定义法：一般步骤为设元→作差→变形→判断符号→得出结论.
(2)图象法：如果f(x)是以图象形式给出的，或者f(x)的图象易作出，则可由图象的上升或下降确定单调性.
(3)导数法：先求导数，利用导数值的正负确定函数的单调区间.
(4)性质法：①对于由基本初等函数的和、差构成的函数，根据各初等函数的增减性及f(x)±g(x)增减性质进行判断；
②对于复合函数，先将函数y＝f(g(x))分解成y＝f(t)和t＝g(x)，再讨论(判断)这两个函数的单调性，最后根据复合函数“同增异减”的规则进行判断.
4．函数的最值
设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：
(1)对于任意的x∈I，都有f(x)≤M或f(x)≥M．
(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M.
那么，我们称M是函数y＝f(x)的最大值或最小值．
题型一. 常见函数的单调性（单调区间）
1．函数f（x）＝ln（x2﹣2x﹣8）的单调递增区间是（　　）
A．（﹣∞，﹣2） B．（﹣∞，﹣1） C．（1，+∞） D．（4，+∞）
【解答】解：由x2﹣2x﹣8＞0得：x∈（﹣∞，﹣2）∪（4，+∞），
令t＝x2﹣2x﹣8，则y＝lnt，
∵x∈（﹣∞，﹣2）时，t＝x2﹣2x﹣8为减函数；
x∈（4，+∞）时，t＝x2﹣2x﹣8为增函数；
y＝lnt为增函数，
故函数f（x）＝ln（x2﹣2x﹣8）的单调递增区间是（4，+∞），
故选：D．
2．已知函数f（x）＝e|x﹣a|（a为常数）．若f（x）在区间[1，+∞）上是增函数，则a的取值范围是（　　）
A．（﹣∞，1） B．（﹣∞，1] C．（1，+∞） D．[1，+∞）
【解答】解：因为函数f（x）＝e|x﹣a|（a为常数）．若f（x）在区间[1，+∞）上是增函数
由复合函数的单调性知，必有t＝|x﹣a|在区间[1，+∞）上是增函数
又t＝|x﹣a|在区间[a，+∞）上是增函数，
所以[1，+∞）⊆[a，+∞），故有a≤1，
故选：B．
3．已知函数f（x）=x2+(4a−3)x+3a，x＜0loga(x+1)+2，x≥0（a＞0且a≠1）是R上的单调函数，则a的取值范围是（　　）
A．（0，34] B．[34，1） C．[23，34] D．（23，34]
【解答】解：由题意，分段函数是在R上单调递减，可得对数的底数需满足0＜a＜1，
根据二次函数开口向上，二次函数在（﹣∞，−b2a）单调递减，可得−b2a≥0．