人教专题6.1 平面向量的概念及其运算 2022年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）（讲）解析版.docx

专题6.1 平面向量的概念及其运算
新课程考试要求
1.平面向量的实际背景及基本概念：理解平面向量及几何意义，理解零向量、向量的模、单位向量、向量相等、平行向量、向量夹角的概念.
2. 向量的线性运算：掌握向量加法、减法、数乘的概念，并理解其几何意义.
3.理解平面向量数量积的概念及其意义，了解平面向量的数量积与向量投影的关系.
4.掌握数量积与两个向量的夹角之间的关系.
核心素养
本节涉及所有的数学核心素养：逻辑推理（多例）、直观想象（多例）、数学运算（多例）等.
考向预测
（1）以考查向量的线性运算、共线为主，且主要是在理解它们含义的基础上，进一步解题，如利用向量的线性运算求参数等；
（2）考查单位向量较多.
（3）以考查向量的数量积、夹角、模、垂直的条件等问题为主，基本稳定为选择题或填空题，难度中等以下；
（4）常常以平面图形为载体，同三角函数、解析几何等知识相结合，以工具的形式出现．
【知识清单】
知识点1．向量的概念
1．向量：既有大小又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的模．
2．零向量：长度等于0的向量，其方向是任意的．
3．单位向量：长度等于1个单位的向量．
4．平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线．
5．相等向量：长度相等且方向相同的向量．
6．相反向量：长度相等且方向相反的向量．
知识点2．平面向量的线性运算
一．向量的线性运算
向量运算
定义
法则(或几何意义)
运算律
加法
求两个向量和的运算
三角形法则
平行四边形法则
(1)交换律：；
(2)结合律：
减法
求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差
三角形法则
二．向量的数乘运算及其几何意义
1．定义：实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫向量的数乘，记作λa，它的长度与方向规定如下：
①|λa|＝|λ||a|；
②当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0.
2．运算律：设λ，μ是两个实数，则：
①；②；③.
知识点3．共线向量
共线向量定理：向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得b＝λa.
知识点4．两个向量的夹角
1．定义
已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ叫做向量a与b的夹角．
2．范围
向量夹角θ的范围是0°≤θ≤180°a与b同向时，夹角θ＝0°；a与b反向时，夹角θ＝180°.
3．向量垂直
如果向量a与b的夹角是90°，则a与b垂直，记作a⊥b.
知识点5．平面向量的数量积
1．已知两个非零向量a与b，则数量|a||b|·cos θ叫做a与b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ，其中θ是a与b的夹角．
规定0·a＝0.
当a⊥b时，θ＝90°，这时a·b＝0.
2．a·b的几何意义：
数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积．
知识点6．数量积的运算律
1．交换律：a·b＝b·a.
2．分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c.
3．对λ∈R，λ(a·b)＝(λa)·b＝a·(λb)．
知识点7．向量数量积的性质
1．如果e是单位向量，则a·e＝e·a.
2．a⊥ba·b＝0.
3．a·a＝|a|2，.
4．cos θ＝.(θ为a与b的夹角)
5．|a·b|≤|a||b|.
【考点分类剖析】
考点一 向量的有关概念
【典例1】（2020·山东高三专题练****给出下列四个命题：①若，则；②若A，B，C，D是不共线的四点，则“”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件；③若,，则；④的充要条件是且.其中正确命题的序号是（ ）
A．②③ B．①② C．③④ D．②④
【答案】A
【解析】
对于①，根据向量相等的概念分析可知不正确；对于②，根据向量相等的概念以及充要条件的概念分析可知正确；对于③，根据向量相等的概念分析可知正确；对于④，根据向量相等的概念以及充要条件的概念分析可知不正确.
【详解】
对于①，两个向量的长度相等，不能推出两个向量的方向的关系，故①错误；
对于②，因为A，B，C，D是不共线的四点，且 等价于且，即等价于四边形ABCD为平行四边形，故②正确；
对于③，若,，则；显然正确，故③正确；
对于④，由可以推出且，但是由且可能推出，故“且”是“”的必要不充分条件，故④不正确,
故选：A
【典例2】（2020·衡水市第十四中学高一月考）下列说法错误的是（ ）
A．向量的长度与向量的长度相等 B．零向量与