人教专题7.5 数列的综合应用 2022年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）（练）解析版.docx

专题7.5 数列的综合应用
练基础
1．（2021·浙江高三专题练****已知正项等差数列和正项等比数列}，，是，的等差中项，是，的等比中项，则下列关系成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
设等差数列公差为d，等比数列公比为q，由题意可得：，进而可得结果.
【详解】
设等差数列公差为d，等比数列公比为q，
由题意可得：
A. ,故A不正确；
B. ，故B正确；
C. ，故C不正确；
D. ，故D不正确.
故选：B
2．（2021·江西赣州市·高三二模（理））朱世杰是元代著名数学家，他所著的《算学启蒙》是一部在中国乃至世界最早的科学普及著作.《算学启蒙》中涉及一些“堆垛”问题，主要利用“堆垛”研究数列以及数列的求和问题.现有132根相同的圆形铅笔，小明模仿“堆垛”问题，将它们全部堆放成纵断面为等腰梯形的“垛”，要求层数不小于2，且从最下面一层开始，每一层比上一层多1根，则该“等腰梯形垛”应堆放的层数可以是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】D
【解析】
把各层的铅笔数看出等差数列，利用求和公式得到，由n为264 的因数，且为偶数，把四个选项一一代入验证即可.
【详解】
设最上面一层放根，一共放n（n≥2）层，则最下一层放根，
由等差数列前n项和公式得：，
∴，
∵,∴n为264 的因数，且为偶数，
把各个选项分别代入，验证，可得：n=8满足题意.
故选：D
3.【多选题】（2020·湖南高三月考）在“全面脱贫”行动中，贫困户小王2020年1月初向银行借了扶贫免息贷款10000元，用于自己开设的农产品土特产品加工厂的原材料进货，因产品质优价廉，上市后供不应求，据测算每月获得的利润是该月月初投人资金的，每月月底需缴纳房租600元和水电费400元，余款作为资金全部用于再进货，如此继续.设第月月底小王手中有现款为，则下列论述正确的有（ ）(参考数据：)
A．
B．
C．2020年小王的年利润为40000元
D．两年后，小王手中现款达41万
【答案】BCD
【解析】
由题可知，月月底小王手中有现款为，月月底小王手中有现款为之间的递推关系为，，进而根据递推关系求出通项公式即可得答案.
【详解】
对于A选项，元，故A错误
对于B选项，第月月底小王手中有现款为，则第月月底小王手中有现款为，由题意故B正确；
对于C选项，由得
所以数列是首项为公比为1.2的等比数列，
所以，即
所以2020年小王的年利润为元，故C正确；
对于D选项，两年后，小王手中现款为元，即41万，故D正确.
故选： BCD.
4．（2021·江西高三其他模拟（理））已知公差不为0的等差数列的部分项，，，……构成等比数列，且，，，则___________.
【答案】
【解析】
设等差数列的公差为，则，由等比数列的性质列式求得 ．然后再由等差数列与等比数列的通项公式列式求得．
【详解】
解：设等差数列的公差为，则，
由已知，
即，得，
于是，在等比数列中，
公比．
由为数列的第项，知；
由为数列的第项，知，
，
故.
故答案为．
5．（2021·西安市经开第一中学高三其他模拟（理））数列满足：，点在函数的图像上，其中为常数，且
（1）若成等比数列，求的值；
（2）当时，求数列的前项的和.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
（1）首先由条件，列式表示为，，，再根据数列是等比数列求的值；
（2）由条件，归纳可知，再求数列的前项的和.
【详解】
解：（1）由可得，，，
所以，，.
又，，成等比数列，所以，则，
又，故.
（2）时，，∴，，…，，
.
6.（2021·江苏高考真题）已知数列满足，且.
（1）求证：数列为等比数列；
（2）求数列的通项公式；
（3）求数列的前项和.
【答案】（1）见解析；（2）；（3）
【解析】
（1）计算得到，得到答案.
（2），得到数列通项公式.
（3）根据分组求和法计算得到答案.
【详解】
（1）由，得，∴，又，
∴是首项为3，公比为3的等比数列.
（2），∴.
（3）.
7．（2021·全国高三其他模拟（理））已知在等差数列中，为其前项和，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列的前项和为且求的取值范围.
【答案】（1）；（2），.
【解析】
（1）由条件求得公差，写出通项公式；
（2）求出通项公式，利用分组求和求得，且单增，找到符合的最小n值即可.
【详解】
（1）由等差数列性质知，，则，
故公差，
故
（2）由