人教专题8.6 空间向量及其运算和空间位置关系 2022年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）（讲）解析版.docx

专题8.6 空间向量及其运算和空间位置关系
新课程考试要求
1.了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标表示点的位置
2.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.
3．掌握空间向量的加、减、数乘、数量积的定义、坐标表示的运算.
4．掌握空间两点间的距离公式，会求向量的长度、两向量夹角，并会解决简单的立体几何问题.
核心素养
本节涉及的数学核心素养：数学运算、逻辑推理、直观想象、数学抽象等.
考向预测
（1）空间向量的线性运算及其坐标表示.
（2）运用向量的数量积判断向量的共线与垂直.
（3）应用空间向量解决立体几何问题.
（4）一般不独立命题．预测2022年高考会以简单几何体为载体，利用空间向量解决与平行、垂直有关的证明及空间角的计算问题．解题时要求有较强的运算能力.
【知识清单】
知识点1．空间向量的线性运算
1.空间向量的有关概念
(1)空间向量：在空间中，具有大小和方向的量叫做空间向量，其大小叫做向量的模或长度．
(2)几种常用特殊向量
①单位向量：长度或模为1的向量．
②零向量：长度为0的向量．
③相等向量：方向相同且模相等的向量.
④相反向量：方向相反而模相等的向量．
⑤共线向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，则这些向量叫作共线向量或平行向量．
⑥共面向量：平行于同一个平面的向量．
2.空间向量的线性运算
(1)空间向量的加减与数乘运算是平面向量运算的推广．
设a，b是空间任意两向量，若，P∈OC，则，，.
（2）向量加法与数乘向量运算满足以下运算律
①加法交换律：a＋b＝b + a .
②加法结合律：(a＋b)＋c＝a +（b＋c）．
③数乘分配律：λ(a＋b)＝λa+λb.
④数乘结合律：λ(μa)＝(λμ) a.(λ∈R，μ∈R)．
知识点2．共线向量定理、共面向量定理的应用
(1)共线向量定理：对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a=λb.
(2)共面向量定理：如果两个向量a、b不共线，则向量p与向量a、b共面的充要条件是存在唯一实数对x、y，使.
(3)空间向量基本定理
如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量p，存在唯一的有序实数组{x，y，z}，使.把{a，b，c}叫做空间的一个基底．
推论：设O、A、B、C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的三个有序实数x、y、z，
使.其中x＋y＋z＝1.
知识点3．空间向量的数量积及其应用
1．两个向量的数量积
(1)a·b＝|a||b|cos〈a，b〉；
(2)a⊥b⇔a·b＝0(a，b为非零向量)；
(3)|a|2＝a2，|a|＝.
2．向量的坐标运算
a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)
向量和
a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)
向量差
a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)
数量积
a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3
共线
a∥b⇒a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)
垂直
a⊥b⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0
夹角
公式
cos〈a，b〉＝
知识点4．空间直角坐标系以及空间向量的坐标运算
空间直角坐标系及有关概念
(1)空间直角坐标系：以空间一点O为原点，建立三条两两垂直的数轴：x轴，y轴，z轴．这时建立了一个空间直角坐标系Oxyz，其中点O叫做坐标原点，x轴，y轴，z轴统称坐标轴．由每两个坐标轴确定的平面叫做坐标平面．
(2)右手直角坐标系的含义：当右手拇指指向x轴的正方向，食指指出y轴的正方向时，中指指向z轴的正方向．
(3)空间一点M的坐标用有序实数组(x，y，z)来表示，记作M(x，y，z)，其中x叫做点M的横坐标，y叫做点M的纵坐标，z叫做点M的竖坐标．
2．空间两点间的距离公式
设点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则＝.
【考点分类剖析】
考点一 ：空间向量的线性运算
【典例1】（2020·全国）如图，在长方体中，( )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
在长方体中，
故选D.
【典例2】如图，在空间四边形中， ， ， ．点在上，且， 是的中点，则=( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】由题，在空间四边形， ， ， ．点在上，且， 是的中点，则 ．
所以
故选B．
【规律方法】
用已知向量表示某一向量的方法
(1)用已知向量来表示未知向量，一定要结合图形，以图形为指导是