人教专题09 平面向量 9.1线性运算、基本定理和坐标运算 题型归纳讲义-2022届数学一轮复习（解析版）.docx

专题九 《平面向量》讲义
9.1 线性运算、基本定理和坐标运算
知识梳理.线性运算、基本定理和坐标运算
一．向量的有关概念
(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度(或称模)．
(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．
(3)单位向量：长度等于1个单位长度的向量．（没有方向上的规定）
(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：与任一向量平行或共线．
(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量
(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量
二．向量的线性运算
（一）加法：求两个向量和的运算
1.三角形法则：首尾连，连首尾
2.平行四边形法则：起点相同连对角
3.运算律
交换律：＋＝＋
结合律：(＋)＋＝＋(＋)
减法：共起点，连终点，指向被减
（三）数乘：求实数λ与向量的积的运算
1.数乘意义：|λ |＝|λ|||，当λ>0时，λ与的方向相同；
当λ<0时，λ与的方向相反；
当λ＝0时，λ＝0
2.运算律
（1）λ(μ)＝(λμ)
（2）(λ＋μ)＝λ＋μ
（3）λ(＋)＝λ＋λ
3．向量共线定理
向量与非零向量共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得＝λ.
4．平面向量基本定理
如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量，有且只有一对实数λ1，λ2，使＝λ1＋λ2.其中，不共线的向量，叫做表示这一平面内所有向量的一组基底
三．平面向量的坐标运算
(1)向量的加法、减法、数乘向量及向量的模：
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，
则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，
a－b＝(x1－x2，y1－y2)，
λa＝(λx1，λy1)，|a|＝.　　　　　　　 　　 　　　　　　　　
(2)向量坐标的求法：
①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．
②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，
||＝.
3．平面向量共线的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0.
题型一. 线性运算
1．（2018•新课标Ⅰ）在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则EB→=（　　）
A．34AB→−14AC→ B．14AB→−34AC→ C．34AB→+14AC→ D．14AB→+34AC→
【解答】解：在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，
EB→=AB→−AE→=AB→−12AD→
=AB→−12×12（AB→+AC→）
=34AB→−14AC→，
故选：A．
2．（2015•新课标Ⅰ）设D为△ABC所在平面内一点，BC→=3CD→，则（　　）
A．AD→=−13AB→+43AC→ B．AD→=13AB→−43AC→
C．AD→=43AB→+13AC→ D．AD→=43AB→−13AC→
【解答】解：BC→=3CD→；
∴AC→−AB→=3(AD→−AC→)；
∴AD→=−13AB→+43AC→．
故选：A．
3．（2014•新课标Ⅰ）设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则EB→+FC→=（　　）
A．AD→ B．12AD→ C．BC→ D．12BC→
【解答】解：∵D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，
∴EB→+FC→=（EF→+FB→）+（FE→+EC→）=FB→+EC→=12（AB→+AC→）=AD→，
故选：A．
4．已知A，B，C三点不共线，且点O满足16OA→−12OB→−3OC→=0→，则（　　）
A．OA→=12AB→+3AC→ B．OA→=−12AB→+3AC→
C．OA→=12AB→−3AC→ D．OA→=−12AB→−3AC→
【解答】解：因为点O满足16OA→−12OB→−3OC→=0→，
故OA→+12OA→−12OB→+3OA→−3OC→=0→；
即：OA→+12BA→+3CA→=0→⇒OA→=12AB→+3AC→；
故选：A．
题型二. 共线向量基本定理
1．设a→，b→是不共线的两个平面向量，已知AB→=a→−2b→，BC→=3a→+kb→(k∈R)，若A，B，C三点共线，则k＝（　　）
A．2 B．﹣2 C．6 D．﹣6
【解答】解：根据题意，若A，B，C三点共线，则AB→∥BC→，
又由AB→=a→−2b→，BC→=3a→+kb→(k∈R)，则有k−2=31，
解可得k＝﹣6；
故选：D．
2．已知P是△ABC所在平面内的一点，若CB→−PB→