人教专题11 立体几何 11.2外接球和内切球 题型归纳讲义-2022届数学一轮复习（解析版）.docx

专题十一 《立体几何》讲义
11.2 外接球与内切球
题型一. 长方体模型
1．已知球O面上的四点A、B、C、D，DA⊥平面ABC，AB⊥BC，DA＝AB＝BC=3，则球O的体积等于（　　）
A．43π B．162π3 C．4π3 D．9π2
【解答】解：AB⊥BC，△ABC的外接圆的直径为AC，AC=6，
由DA⊥面ABC得DA⊥AC，DA⊥BC，△CDB是直角三角形，△ACD是直角三角形，
∴CD为球的直径，CD=DA2+AC2=3，
∴球的半径R=32，
∴V球=43πR3=9π2．
故选：D．
2．四面体A﹣BCD中，AB＝CD＝10，AC＝BD＝234，AD＝BC＝241，则四面体A﹣BCD外接球的表面积为　200π　．
【解答】解：四面体A﹣BCD中，AB＝CD＝10，AC＝BD＝234，AD＝BC＝241，补形成为长方体，不难发现，对棱的长度分别为长方体面对角线的长．
设长方体的长宽高分别为a，b，c．
则a2+b2=100a2+c2=136b2+c2=164，
那么：2（a2+b2+c2）＝400．
a2+b2+c2＝200．
长方体的对角线：200，
外接球的半径2R=200．
∴R＝52．
四面体A﹣BCD外接球的表面积S＝4πR2＝200π．
故答案为：200π．
3．（2012•辽宁）已知正三棱锥P﹣ABC，点P，A，B，C都在半径为3的球面上，若PA，PB，PC两两垂直，则球心到截面ABC的距离为　33　．
【解答】解：∵正三棱锥P﹣ABC，PA，PB，PC两两垂直，
∴此正三棱锥的外接球即以PA，PB，PC为三边的正方体的外接球O，
∵球O的半径为3，
∴正方体的棱长为2，即PA＝PB＝PC＝2
球心到截面ABC的距离即正方体中心到截面ABC的距离
设P到截面ABC的距离为h，则正三棱锥P﹣ABC的体积V=13S△ABC×h=13S△PAB×PC=13×12×2×2×2=43
△ABC为边长为22的正三角形，S△ABC=34×(22)2=23，
∴h=3VS△ABC=233
∴正方体中心O到截面ABC的距离为3−233=33
故答案为 33
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题型二. 柱体模型
1．（2017•新课标Ⅲ）已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（　　）
A．π B．3π4 C．π2 D．π4
【解答】解：∵圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，
∴该圆柱底面圆周半径r=12−(12)2=32，
∴该圆柱的体积：V＝Sh=π×(32)2×1=3π4．
故选：B．
2．已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1的各顶点都在同一球面上，若AB＝AC＝1，AA1＝2，∠BAC＝120°，则此球的表面积等于　8π　．
【解答】解：设直三棱柱ABC﹣A1B1C1的上下底面的三角形的外接圆的圆心分别是点P，M，
设△ABC的外接圆半径为r，直三棱柱ABC﹣A1B1C1的外接球的半径为R，如图所示：，
∴直三棱柱ABC﹣A1B1C1的外接球的球心O为线段PM的中点，
在△ABC中，AB＝AC＝1，∠BAC＝120°，
∴由余弦定理得：cos1200=AB2+AC2−BC22AB⋅AC=−12，∴BC=3，
∴由正弦定理得：2r=BCsin1200=2，∴r＝1，
∴在Rt△OMC中，OC＝R，OM=12AA1=1，MC＝r＝1，
∴R2＝12+12＝2，
∴直三棱柱ABC﹣A1B1C1的外接球的表面积为：4πR2＝8π，
故答案为：8π．
3．若三棱锥P﹣ABC中，已知PA⊥底面ABC，∠BAC＝120°，PA＝AB＝AC＝2，若该三棱锥的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（　　）
A．103π B．18π C．20π D．93π
【解答】解：三棱锥P﹣ABC中，已知PA⊥底面ABC，∠BAC＝120°，PA＝AB＝AC＝2，
故该三棱锥为图中正六棱柱内的三棱锥P﹣ABC，
所以该三棱锥的外接球即为该六棱柱的外接球，
所以外接球的直径2R=42+22=25，
则R=5，
所以该球的表面积为S=4πR2=4π⋅(5)2=20π．
故选：C．
声明：试
题型三. 正棱锥模型
1．正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（　　）
A．81π4 B．16π C．