人教专题13解析几何 13.7定点定值 题型归纳讲义-2022届数学一轮复习（解析版）.docx

专题十三 《解析几何》讲义
13.7 定点定值
知识梳理.定点定值
1．定点问题
(1)参数法：参数法解决定点问题的思路：①引进动点的坐标或动直线中的参数表示变化量，即确定题目中的核心变量(此处设为k)；②利用条件找到k与过定点的曲线F(x，y)＝0之间的关系，得到关于k与x，y的等式，再研究变化量与参数何时没有关系，找到定点．
(2)由特殊到一般法：由特殊到一般法求解定点问题时，常根据动点或动直线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.
2.定值问题
(1)直接消参求定值：常见定值问题的处理方法：①确定一个(或两个)变量为核心变量，其余量均利用条件用核心变量进行表示；②将所求表达式用核心变量进行表示(有的甚至就是核心变量)，然后进行化简，看能否得到一个常数．
(2)从特殊到一般求定值：常用处理技巧：①在运算过程中，尽量减少所求表达式中变量的个数，以便于向定值靠拢；②巧妙利用变量间的关系，例如点的坐标符合曲线方程等，尽量做到整体代入，简化运算.

题型一. 定值问题
1．已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的两个顶点分别为点A（﹣2，0），B（2，0），离心率为32．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）点D为x轴上一点，过D作x轴的垂线交椭圆C于不同的两点M，N，过D作AM的垂线交BN于点E．证明：△BDE与△BDN的面积之比为定值．
【解答】解：（Ⅰ）因为焦点在x轴上，两个顶点分别为A（﹣2，0），B（2，0），
所以a＝2，
由e=ca=32，所以c=3，
所以b2＝a2﹣c2＝1，
所以椭圆的方程为x24+y2＝1．
（Ⅱ）设D（x0，0），M（x0，y0），N（x0，﹣y0）（y0＞0），
可得y02＝1−x024，
直线AM的方程为y=y0x0+2（x+2），
因为DE⊥AM，所以kDE=−x0+2y0，
直线DE的方程为y=−x0+2y0（x﹣x0），
直线BN的方程为y=−y0x0−2（x﹣2）
联立y=−x0+2y0(x−x0)y=−y0x0−2(x−2)，
整理得，x0+2y0（x﹣x0）=y0x0−2（x﹣2），
即（x02﹣4）（x﹣x0）＝y02（x﹣2），
即（x02﹣4）（x﹣x0）=4−x024（x﹣2），得x=4x0+25，
所以y=−x0+2y0•2−x05=−4−y025y0=−45y0，
即E（4x0+25，−45y0），则yEyN=45，
又S△BDES△BDN=12|BD|⋅|yE|12|BD|⋅|yN|=45，
所以△BDE与△BDN的面积之比为定值45．
2．（2018·全国1）设椭圆C：x22+y2＝1的右焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，点M的坐标为（2，0）．
（1）当l与x轴垂直时，求直线AM的方程；
（2）设O为坐标原点，证明：∠OMA＝∠OMB．
【解答】解：（1）c=2−1=1，
∴F（1，0），
∵l与x轴垂直，
∴x＝1，
由x=1x22+y2=1，解得x=1y=22或x=1y=−22，
∴A（1.22），或（1，−22），
∴直线AM的方程为y=−22x+2，y=22x−2，
证明：（2）当l与x轴重合时，∠OMA＝∠OMB＝0°，
当l与x轴垂直时，OM为AB的垂直平分线，∴∠OMA＝∠OMB，
当l与x轴不重合也不垂直时，设l的方程为y＝k（x﹣1），k≠0，
A（x1，y1），B（x2，y2），则x1＜2，x2＜2，
直线MA，MB的斜率之和为kMA，kMB之和为kMA+kMB=y1x1−2+y2x2−2，
由y1＝kx1﹣k，y2＝kx2﹣k得kMA+kMB=2kx1x2−3k(x1+x2)+4k(x1−2)(x2−2)，
将y＝k（x﹣1）代入x22+y2＝1可得（2k2+1）x2﹣4k2x+2k2﹣2＝0，
∴x1+x2=4k22k2+1，x1x2=2k2−22k2+1，
∴2kx1x2﹣3k（x1+x2）+4k=12k2+1（4k3﹣4k﹣12k3+8k3+4k）＝0
从而kMA+kMB＝0，
故MA，MB的倾斜角互补，
∴∠OMA＝∠OMB，
综上∠OMA＝∠OMB．
3．如图，已知椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的离心率为32，且过点（3，12）．
（Ⅰ）求该椭圆的方程；
（Ⅱ）若A，B，C为椭圆上的三点（A，B不在坐标轴上），满足OC→=35OA→+45OB→，直线OA，OB分别交直线l：x＝3于M，N两点，设直线OA，OB的斜率为k1，k2．证明：k1•k2为定值，并求线段MN长度的最小值．
【解答】