人教高中数学思想01 函数与方程思想（练）【解析版】.docx

第三篇 思想方法篇
思想01 函数与方程思想（练）
一、单选题
1．（2023秋·云南楚雄·高三统考期末）已知随机变量（i＝1，2）的分布列如表所示：
0
p
其中，若，且，则（    ）A．，
B．，
C．，
D．，
【答案】A
【分析】求出期望，得出；根据方差公式求出方差，结合，比较的大小关系.
【详解】因为，所以；，因为，所以，.
故选：A.
2．（2022春·上海闵行·高三闵行中学校考开学考试）设、为单位向量，非零向量，，若、的夹角为，则的最大值等于（    ）
A．1 B． C． D．1
【答案】B
【分析】由已知可得.则当时，有，根据二次函数的性质，即可得出答案.
【详解】.
当时，的值为0，
当时，有
，
当时，有最小值，此时有最大值为.
故选：B.
3.（2023·陕西咸阳·校考一模）如图，中，，为的中点，将沿折叠成三棱锥，则该棱锥体积最大值为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据题意易得平面，进而得三棱锥的体积为即可得答案.
【详解】解：因为在中，，为的中点，
所以，，
所以，在折叠成的三棱锥中，，
因为平面，
所以平面，
所以，三棱锥的体积为，当且仅当时等号成立，
所以，该棱锥体积最大值为
故选：B
4．（2023·贵州毕节·统考一模）给出下列命题：
①函数恰有两个零点；
②若函数在上的最小值为4，则；
③若函数满足，则；
④若关于的方程有解，则实数的取值范围是．
其中正确的是（    ）
A．①③ B．②④ C．③④ D．②③
【答案】D
【分析】①利用图象，转化为函数交点问题，即可判断；
②利用基本不等式，即可求解；
③结合条件，找到规律，即可求解；
④参变分离后，转化为求函数的值域，即可求解.
【详解】①当时，有2个零点，2和4，
根据和可知，当时，函数有1个零点，
所以函数有3个零点，
故①错误；
②，即，得，故②正确；
③①，，②
且因为，则
，，…,
所以①+②，
所以，故③正确；
④若关于的方程有解，则，因为，则，故④错误.
故选：D
5．（2023·全国·模拟预测）已知椭圆的左顶点为A，右焦点为F，M是椭圆上任意一点，则的取值范围为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】解法一 ：由题意可得，，，设.表示出，然后根据椭圆的范围即可求出范围；解法二：由题意可得，，，设，取线段AF的中点，可推得，然后根据椭圆的范围即可求出范围.
【详解】解法一：
由题意知，，设.
则.
因为，所以，所以，
所以．
解法二：
由题意知，．
设，取线段AF的中点N，则，连接MN.
则.
因为，所以，所以，
所以．
故选：D．
6．（2022·北京·统考模拟预测）平面向量，满足，且，则与夹角的正弦值的最大值为（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设，，则，设，，，根据均值不等式计算最值，再利用同角三角函数关系得到答案.
【详解】如图所示：设，，则，设，，，
，
当，即时等号成立，故，
当最小时，最大，
故与夹角的正弦值的最大值为.
故选：B
7.（2023春·河南·高三河南省淮阳中学校联考开学考试）已知直线与圆相切，若函数，满足，对于任意的恒成立，则实数的取值范围为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据题意，由直线与圆相切可得，从而可得为奇函数且在上为单调递增函数，再将不等式化简，结合基本不等式即可得到结果.
【详解】由圆可得圆心，半径为，
直线与圆相切，则，，
因为，所以为奇函数.
且在上为单调递增函数，
对于任意的，有，即
所以，
，
令（当且仅当时取等号），可得，
所以.
故选:B
8．（2023·陕西西安·统考一模）设函数的定义域为，满足，且当时，.则下列结论正确的个数是（    ）
①；
②若对任意，都有，则的取值范围是；
③若方程恰有3个实数根，则的取值范围是；
④函数在区间上的最大值为，若，使得成立，则.
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】由题意推出函数的解析式，作出函数图象，利用解析式可判断①；解方程，结合函数图象可判断②；举反例取特殊值，可判断③；根据函数解析式求得最值，可得表达式，分离参数，将，使得成立转化为数列的单调性问题，可判断④.
【详解】函数的定义域为，满足，即，
且当时，,
当时，，故,
当时，，故，
依次类推，
当时，
，
由此