人教高中数学微专题01 平面向量（解析版）.docx

微专题01 平面向量
【秒杀总结】
结论1：极化恒等式
1、平行四边形平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和：
证明：不妨设，，则，
（1）
（2）
（1）（2）两式相加得：
2、极化恒等式：
上面两式相减，得：————极化恒等式
（1）平行四边形模式：
几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的．
（2）三角形模式：（M为BD的中点）
结论2：矩形***：矩形所在平面内任一点到其对角线端点距离的平方和相等．
已知点O是矩形ABCD与所在平面内任一点，证明：．
【证明】（坐标法）设，以AB所在直线为轴建立平面直角坐标系xoy，
则，设，则
结论3：三点共线的充要条件
设、、是三个不共线向量，则A、B、P共线存在使．
特别地，当P为线段AB的中点时，．
结论4：等和线
【基本定理】
（一）平面向量共线定理
已知，若，则三点共线；反之亦然．
（二）等和线
平面内一组基底及任一向量，，若点在直线上或者在平行于的直线上，则（定值），反之也成立，我们把直线以及与直线平行的直线称为等和线．
（1）当等和线恰为直线时，；
（2）当等和线在点和直线之间时，；
（3）当直线在点和等和线之间时，；
（4）当等和线过点时，；
（5）若两等和线关于点对称，则定值互为相反数；
结论5：奔驰定理
【奔驰定理】若O为内任一点，且，则
【典型例题】
例1．在中，是的中点，，则____．
【答案】-16
【解析】因为是的中点，由极化恒等式得：
．
例2．正三角形内接于半径为2的圆O，点P是圆O上的一个动点，则的取值范围是 ．
【答案】
【解析】取AB的中点D，连结CD，因为三角形ABC为正三角形，所以O为三角形ABC的重心，O在CD上，且，所以，（也可用正弦定理求AB）
又由极化恒等式得：
因为P在圆O上，所以当P在点C处时，
当P在CO的延长线与圆O的交点处时，
所以
例3．已知圆与，定点，A、B分别在圆和圆上，满足，则线段AB的取值范围是 ．
【答案】
【解析】以为邻边作矩形，则
由得，即，
的轨迹是以为圆心，半径为的圆，
，
．
例4．在平面内，已知，，，若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，所以四边形是平行四边形，
又，所以四边形是矩形，从而
，
因为，所以，即
例5．在△ABC中，已知D是AB边上一点，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，
又，．
例6．给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为，点在以为圆心的圆弧上变动．若
，其中，则的最大值是__________．
【答案】2
【解析】（秒杀）作平行于AB的直线l，当且仅当l与圆相切时，的取最大值2．
令，则由
得．
由三点共线可得
【过关测试】
一、单选题
1．（2023·北京西城·高三统考期末）在中，．P为边上的动点，则的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】以为坐标原点，，所在直线分别为轴，轴，建立直角坐标系，
则，直线所在直线方程为，
设，，则，，
，
当时，，当时，，
故其取值范围为，
故选：B.
2．（2023·北京昌平·高三统考期末）已知向量满足，则的最大值是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】把平移到共起点，以的起点为原点，所在的直线为轴，的方向为轴的正方向，见下图，设，则
又则点的轨迹为以为直径的圆，又因为所以故以为直径的圆为，所以的最大值就是以为直径的圆上的点到原点距离的最大值，所以最大值为
故选：C
3．（2023·广西桂林·统考一模）如图，在△ABC中，M为线段BC的中点，G为线段AM上一点且，过点G的直线分别交直线AB、AC于P、Q两点，，，则的最小值为（    ）
A． B．1 C． D．4
【答案】B
【解析】由于M为线段BC的中点，则
又，所以，又，
所以，则
因为三点共线，则，化得
由
当且仅当时，即时，等号成立，的最小值为1
故选：B
4．（2023·全国·高三专题练****如图，在半径为4的扇形中，，点是上的一点，则的最小值为（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设，如图，以所在的直线为轴，以的垂线为