微专题 平面向量数量积的基本概念及运算 学案——2023届高考数学一轮人教版.docx

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微专题：平面向量数量积的基本概念及运算
【考点梳理】
1. 向量的数量积
(1)向量数量积的定义
①向量的夹角：已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作＝a，＝b(如图所示)，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角.
②向量的平行与垂直：当θ＝0时，a与b同向；当θ＝π时，a与b反向；如果a与b的夹角是，我们说a与b垂直，记作a⊥b.
③向量的数量积：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|cosθ叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos_θ.
规定：零向量与任一向量的数量积为0.
(2)向量的投影
①定义：如图，设a，b是两个非零向量，＝a，＝b，作如下的变换：过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到，则称上述变换为向量a向向量b投影，叫做向量a在向量b上的投影向量.
②计算：设与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，则向量a在向量b上的投影向量是|a|cosθe.
(3)向量数量积的性质
设a，b是非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，则
①a·e＝e·a＝|a|cos_θ.
②a⊥b⇔a·b＝0.
③当a与b同向时，a·b＝|a||b|；当a与b反向时，a·b＝－|a||b|. 特别地，a·a＝|a|2或|a|＝. 　
④|a·b|≤|a||b|.
(4)向量数量积运算的运算律
对于向量a，b，c和实数λ，有
①a·b＝b·a；
②(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)；
③(a＋b)·c＝a·c＋b·c.
(5)数量积的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则
①a·b＝x1x2＋y1y2；a2＝x＋y；＝. 　
②a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.
③≤.
④设θ是a与b的夹角，则
cosθ＝＝.
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【题型归纳】
题型一：平面向量数量积的定义及辨析
1．关于平面向量，下列说法正确的是（       ）
A．若，则 B．
C．若，则 D．
2．已知的面积为，则（       ）
A． B． C． D．
3．满足的△ABC（       ）
A．一定为锐角三角形 B．一定为直角三角形
C．一定为钝角三角形 D．可能为锐角三角形或直角三角形或钝角三角形

题型二：平面向量数量积的运算
4．如图，正六边形的边长为1，延长，交于，则（       ）
A． B． C．9 D．
5．如图，在平面四边形中，，且，则等于（       ）
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A． B． C． D．
6．已知是边长为2的等边三角形，点D为边的中点，则（       ）
A． B． C．1 D．2
【双基达标】
7．若且在方向上的投影为2，则实数（       ）
A． B． C． D．
8．在中，是三角形的外心，过点作于点，，则=（       ）
A．16 B．8 C．24 D．32
9．已知平面向量，满足，，与的夹角为60°，则（       ）
A． B． C．5 D．3
10．若，点C在∠AOB外，且，设实数m，n满足，则等于（　　）
A．﹣2 B．2 C． D．
11．在△ABC中，若其面积为S，且=2S，则角A的大小为（       ）
A．30° B．60° C．120° D．150°
12．在椭圆上有两个动点，为定点，，则的最小值为（       ）
A． B． C． D．1
13．若与是相反向量，且=3，则等于（       ）
A．9 B．0 C．-3 D．-9
14．设是定直线的法向量，定点在直线上，定点在直线外，为一动点，若点满足，则动点的轨迹为（       ）
A．直线 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
15．扇形的半径为1，圆心角为，是上的动点，则的最小值为（       ）
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A． B．0 C． D．
16．在中，已知，，且满足，，若线段和线段的交点为，则（       ）.
A． B． C． D．
17．在中，若，则的形状一定是（       ）
A．等边三角形 B．直角三角形