北京市八一中学人教版高二（上）期中数学试卷（理科）（解析版）.zip

2015-2016学年北京市八一中学高二（上）期中数学试卷（理科）
　
一、选择题（每小题4分，共10小题，40分，每题只有一个正确选项）
1．若直线l与平面α内的一条直线平行，则l和α的位置关系是（　　）
A．l⊂α B．l∥α C．l⊂α或l∥α D．l和α相交
2．过点P（﹣2，m）和Q（m，4）的直线斜率等于1，那么m的值等于（　　）
A．1或3 B．4 C．1 D．1或4
3．正四面体的侧面与底面所成的二面角的余弦值为（　　）
A． B． C． D．
4．过点（﹣1，3）且垂直于直线x﹣2y+3=0的直线方程为（　　）
A．2x+y﹣1=0 B．2x+y﹣5=0 C．x+2y﹣5=0 D．x﹣2y+7=0
5．若=（0，1，﹣1），=（1，1，0），且（+λ）⊥，则实数λ的值为（　　）
A．﹣1 B．0 C．1 D．﹣2
6．如图所示，是一个几何体的三视图，则在此几何体中，直角三角形的个数是（　　）
．
A．1 B．2 C．3 D．4
7．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为（　　）
A． B． C． D．
8．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱线长为1，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF=，则下列结论中错误的是（　　）
A．AC⊥BE
B．EF∥平面ABCD
C．三棱锥A﹣BEF的体积为定值
D．异面直线AE，BF所成的角为定值
9．如图，在直三棱柱A1B1C1﹣ABC中，，AB=AC=A1A=1，已知G与E分别是棱A1B1和CC1的中点，D与F分别是线段AC与AB上的动点（不包括端点）．若GD⊥EF，则线段DF的长度的取值范围是（　　）
A．[，1） B．[，2） C．[1，） D．[，）
10．已知二面角α﹣l﹣β为60°，AB⊂α，AB⊥l，A为垂足，CD⊂β，C∈l，∠ACD=135°，则异面直线AB与CD所成角的余弦值为（　　）
A． B． C． D．
　
二、填空题（每小题4分，共6小题，24分）
11．已知α∥β，平面α与平面β的法向量分别为，，且=（1，﹣2，5），=（﹣3，6，z），则z=______．
12．直线y=kx+2（k∈R）不过第三象限，则斜率k的取值范围是______．
13．若一个圆锥的底面半径为1，侧面积是底面积的2倍，则该圆锥的体积为______．
14．正六棱柱的高为5cm，最长的对角线为13cm，则它的表面积为______．
15．已知m、n是直线，α、β、γ是平面，给出下列命题：
①若α⊥β，α∩β=m，n⊥m，则n⊥α或n⊥β；
②若α∥β，α∩γ=m，β∩γ=n，则m∥n；
③若m不垂直于α，则m不可能垂直于α内的无数条直线；
④若α∩β=m，n∥m；且n∉α，n∉β，则n∥α且n∥β．
其中正确的命题的序号是______．（注：把你认为正确的命题的序号都填上）
16．设P，Q为一个正方体表面上的两点，已知此正方体绕着直线PQ旋转θ（0＜θ＜2π）角后能与自身重合，那么符合条件的直线PQ有______条．
　
三、解答题（共4题，36分）
17．已知在△ABC中，A（3，2）、B（﹣1，5），C点在直线3x﹣y+3=0上，若△ABC的面积为10，求C点的坐标．
18．如图．在直棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=，AA1=3，D是BC的中点，点E在棱BB1上运动．
（1）证明：AD⊥C1E；
（2）当异面直线AC，C1E 所成的角为60°时，求三棱锥C1﹣A1B1E的体积．
19．如图，在边长为4 的菱形ABCD中，∠BAD=60°，DE⊥AB于点E，将△ADE沿DE
折起到△A1DE的位置，使A1D⊥DC，如图．
（1）求证：A1E⊥平面BCDE；
（2）求二面角E﹣A1B﹣C的余弦值；
（3）判断在线段EB上是否存在一点P，使平面A1DP⊥平面A1BC？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
20．已知A1（x1，y1），A2（x2，y2），…，An（xn，yn）是直线l：y=kx+b上的n个不同的点（n∈N*，k、b均为非零常数），其中数列{xn}为等差数列．
（1）求证：数列{yn}是等差数列；
（2）若点P是直线l上一点，且，求证：a1+a2=1；
（3）设a1+a2+…+an=1，且当i+j=n+1时，恒有ai=aj（i和j都是不大于n的正整数，且i≠j）．试探索：在直线l上是否存在这样的点P，使得成立？请说明你的理由．
　
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