函数的最大(小)值-人教A版高中数学选择性必修第二册练习（Word解析版）.docx

第五章一元函数的导数及其应用
5.3　导数在研究函数中的应用
5.3.2　函数的极值与最大(小)值
第2课时　函数的最大(小)值
课后篇巩固提升
基础达标练
1.(2019湖南高三期末)函数y=2x3-3x2-12x+5在[-2,1]上的最大值、最小值分别是(　　)
A.12,-15 B.1,-8
C.5,-16 D.12,-8
解析由函数y=2x3-3x2-12x+5,
得y'=6x2-6x-12=6(x+1)(x-2),令y'=0,
解方程可得x1=-1,x2=2,列表如下.
x
-2
(-2,-1)
-1
(-1,1)
1
y'
+
0
-
y
1
单调递增
极大值12
单调递减
-8
由表格可知,函数y=2x3-3x2-12x+5在[-2,1]上的最大值为12,最小值为-8,故选D.
答案D
2.某城市在发展过程中,交通状况逐渐受到大家更多的关注,据有关统计数据显示,从上午6 h到9 h,车辆通过该市某一路段的用时y(min)与车辆进入该路段的时刻t之间的关系可近似地用如下函数表示:y=-18t3-34t2+36t-6294.则在这段时间内,通过该路段用时最多的时刻是(　　)
A.6 h B.7 h
C.8 h D.9 h
解析由题意,得
y'=-38t2-32t+36=-38(t+12)(t-8).
令y'=0得t=-12(舍去)或t=8.
当6≤t<8时,y'>0;当8<t≤9时,y'<0,所以当 t=8时,y有最大值,即此时刻通过该路段用时最多.
答案C
3.(2020合肥第二中学高三月考)已知函数f(x)=13x3+12x2-2x+1,若函数f(x)在(2a,a2-3)上存在最小值,则a的取值范围是(　　)
A.12,2 B.12,2
C.(-1,3) D.-74,-2
解析由f(x)=13x3+12x2-2x+1,
可得f'(x)=x2+x-2,
令f'(x)>0,解得x∈(-∞,-2)∪(1,+∞),令f'(x)<0,解得x∈(-2,1),
故f(x)在x=1时取得极小值.极小值f(1)=-16,由f(x)=-16,得(x-1)(2x2+5x-7)=0,解得x1=1,x2=-72,又因为函数f(x)在(2a,a2-3)上存在最小值,
故可得-72≤2a<1<a2-3,解得-74≤a<-2.故选D.
答案D
4.某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品,若该商品零售价定为p元,销售量为Q件,则销售量Q与零售价p有如下关系:Q=8 300-170p-p2.则最大毛利润为(毛利润=销售收入-进货支出)(　　)
A.30元 B.60元
C.28 000元 D.23 000元
解析设毛利润为L(p),由题意知L(p)=Q(p-20)
=(8 300-170p-p2)(p-20)
=-p3-150p2+11 700p-166 000,
所以L'(p)=-3p2-300p+11 700.
令L'(p)=0,解得p=30或p=-130(舍去).
此时,L(30)=23 000.
因为在p=30附近的左侧L'(p)>0,右侧L'(p)<0,
所以L(30)是极大值,根据实际问题的意义知,L(30)是最大值,即零售价定为每件30元时,最大毛利润为23 000元.
答案D
5.(多选)(2019山东高三月考)若函数f(x)=2x3-ax2(a<0)在a2,a+63上有最大值,则a的取值可能为(　　)
A.-6 B.-5 C.-4 D.-3
解析令f'(x)=2x(3x-a),得x1=0,x2=a3(a<0),当a3<x<0时,f'(x)<0;当x<a3或x>0时,f'(x)>0,则f(x)的增区间为-∞,a3,(0,+∞),减区间为a3,0,
从而f(x)在x=a3处取得极大值fa3=-a327,
由f(x)=-a327,得(x-a3)22x+a3=0,解得x=a3或x=-a6,又f(x)在a2,a+63上有最大值,
所以a3<a+63≤-a6,即a≤-4,故选ABC.
答案ABC
6.函数y=x+12x2(x>0)的最小值为　　　　　. 
解析y'=1+12×(-2)×1x3=1-1x3=x3-1x3=(x-1)(x2+x+1)x3,
所以当x>1时,y'>0,当0<x<1时,y'<0,
所以函数在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,所以函数在x=1处取得最小值,最小值为1+12=32,故答案是32.
答案32
7.函数f(x)=ax4-4ax3+b(a>0),x∈[1,4],f(x)的最大值为3,最小值为-6,则a+b=