数学归纳法-人教A版高中数学选择性必修第二册练习（Word解析版）.docx

第四章数列
4.4*　数学归纳法
课后篇巩固提升
基础达标练
1.用数学归纳法证明3n≥n3(n≥3,n∈N*),第一步验证(　　)
A.n=1 B.n=2
C.n=3 D.n=4
解析由题知,n的最小值为3,所以第一步验证n=3时不等式是否成立.
答案C
2.利用数学归纳法证明不等式1+12+13+…+12n-1<n(n≥2,n∈N*)的过程中,由n=k变到n=k+1时,左边增加了(　　)
A.1项
B.k项
C.2k-1项
D.2k项
解析当n=k时,不等式左边的最后一项为12k-1,而当n=k+1时,最后一项为12k+1-1=12k-1+2k,并且不等式左边和式每一项分母的变化规律是每一项比前一项加1,故增加了2k项.
答案D
3.(多选)对于不等式n2+n≤n+1(n∈N*),某学生的证明过程如下:
①当n=1时,12+1≤1+1,不等式成立.
②假设n=k(k∈N*)时,不等式成立,即k2+k<k+1,则n=k+1时,(k+1)2+(k+1)=k2+3k+2<(k2+3k+2)+(k+2)=(k+2)2=(k+1)+1,
∴当n=k+1时,不等式成立,关于上述证明过程的说法正确的是(　　)
A.证明过程全都正确
B.当n=1时的验证正确
C.归纳假设正确
D.从n=k到n=k+1的推理不正确
解析n=1的验证及归纳假设都正确,但从n=k到n=k+1的推理中没有使用归纳假设,而通过不等式的放缩法直接证明,不符合数学归纳法的证题要求.故选BCD.
答案BCD
4.(多选)一个与正整数n有关的命题,当n=2时命题成立,且由n=k时命题成立可以推得n=k+2时命题也成立,则下列说法正确的是(　　)
A.该命题对于n=6时命题成立
B.该命题对于所有的正偶数都成立
C.该命题何时成立与k取值无关
D.以上答案都不对
解析由n=k时命题成立可以推出n=k+2时命题也成立,且n=2时,命题成立,故对所有的正偶数都成立.故选AB.
答案AB
5.用数学归纳法证明“2n+1≥n2+n+2(n∈N*)”时,第一步的验证为　　　　　　　　　　　　　　　　. 
答案当n=1时,左边=4,右边=4,不等式成立
6.用数学归纳法证明1-12+13−14+…+12n-1−12n=1n+1+1n+2+…+12n时,第一步应验证的等式是　　　　　;从“n=k”到“n=k+1”左边需增加的等式是　　　　　　　　　　. 
解析当n=1时,应当验证的第一个式子是1-12=12,从“n=k”到“n=k+1”左边需增加的式子是12k+1−12(k+1).
答案1-12=12　12k+1−12(k+1)
7.数列{an}中,已知a1=2,an+1=an3an+1(n∈N*),依次计算出a2,a3,a4后,归纳、猜测得出an的表达式为　　　　　. 
解析a1=2,a2=27,a3=213,a4=219,猜测an=26n-5.
答案an=26n-5
8.(1)用数学归纳法证明:12-22+32-42+…+(-1)n-1n2=(-1)n-1·n(n+1)2(n∈N*).
(2)求证:12-22+32-42+…+(2n-1)2-(2n)2=-n(2n+1)(n∈N*).
证明(1)