《成才之路》高二数学（人教A版）选修1-1基础巩固强化：第三章 导数及其应用（7份）.zip

基础巩固强化
一、选择题
1．三次函数当x＝1时，有极大值4；当x＝3时，有极小值0，且函数过原点，则此函数是(　　)
A．y＝x3＋6x2＋9x
B．y＝x3－6x2＋9x
C．y＝x3－6x2－9x
D．y＝x3＋6x2－9x
[答案]　B
[解析]　设函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，
∵函数图象过原点，∴d＝0.f ′(x)＝3ax2＋2bx＋c，
由题意得，，即，
解得，
∴f(x)＝x3－6x2＋9x，故应选B.
2．将数8拆分为两个非负数之和，使其立方之和为最小，则分法为(　　)
A．2和6 B．4和4
C．3和5 D．以上都不对
[答案]　B
[解析]　设一个数为x，则另一个数为8－x，则y＝x3＋(8－x)3,0≤x≤8，y′＝3x2－3(8－x)2，令y′＝0，即3x2－3(8－x)2＝0，解得x＝4.
当0≤x<4时，y′<0，函数单调递减；当4<x≤8时，y′>0，函数单调递增，所以x＝4时，y最小．
3．某产品的销售收入y1(万元)是产量x(千台)的函数：y1＝17x2(x>0)；生产成本y2(万元)是产量x(千台)的函数：y2＝2x3－x2(x>0)，为使利润最大，则应生产(　　)
A．6千台 B．7千台
C．8千台 D．9千台
[答案]　A
[解析]　设利润为y(万元)，则y＝y1－y2＝17x2－2x3＋x2＝18x2－2x3(x>0)，
y′＝36x－6x2，
令y′>0，得0<x<6，
令y′<0，得x>6，
∴当x＝6时，y取最大值，故为使利润最大，则应生产6千台．
4．汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s看作时间t的函数，其图象可能是(　　)
[答案]　A
[解析]　加速过程，路程对时间的导数逐渐变大，图象下凸；减速过程，路程对时间的导数逐渐变小，图象上凸，故选A.
5．内接于半径为R的球且体积最大的圆锥的高为(　　)
A．R B．2R
C.R D.R
[答案]　C
[解析]　设圆锥高为h，底面半径为r，
则R2＝(R－h)2＋r2，∴r2＝2Rh－h2，
∴V＝πr2h＝h(2Rh－h2)＝πRh2－h3，
∴V′＝πRh－πh2，令V′＝0得h＝R，
当0<h<R时，V′>0；当R<h<2R时，V′<0.
因此当h＝R时，圆锥体积最大，故应选C.
6．福建炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第xh时，原油温度(单位：℃)为f(x)＝x3－x2＋8(0≤x≤5)，那么，原油温度的瞬时变化率的最小值是(　　)
A．8 B.
C．－1 D．－8
[答案]　C
[解析]　瞬时变化率即为f ′(x)＝x2－2x为二次函数，且f ′(x)＝(x－1)2－1，又x∈[0,5]，
故x＝1时，f ′(x)min＝－1.
二、填空题
7．把长为60cm的铁丝围成矩形，长为________，宽为________时，矩形的面积最大．
[答案]　15cm　15cm
[解析]　设长为xcm，则宽为(30－x)cm，此时S＝x·(30－