《成才之路》高二数学（人教A版）选修1-2综合素质检测：第二章 推理与证明.zip

第二章综合素质检测
时间120分钟，满分150分。
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．自然数是整数，4是自然数，所以4是整数．以上三段论推理(　　)
A．正确
B．推理形式不正确
C．两个“自然数”概念不一致
D．“两个整数”概念不一致
[答案]　A
[解析]　三段论中的大前提、小前提及推理形式都是正确的．
2．已知a<b<0，下列不等式中成立的是(　　)
A．a2<b2　　　　　　　　　 B.<1
C．a<4－b D.<
[答案]　C
[解析]　令a＝－2，b＝－1，满足a<b<0，则a2>b2，＝2>1，>，故A、B、D都不成立，排除A、B、D，选C.
3．用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：
按照上面的规律，第n个“金鱼”图形需要火柴棒的根数为(　　)
A．6n－2 B．8n－2
C．6n＋2 D．8n＋2
[答案]　C
[解析]　归纳“金鱼”图形的构成规律知，后面“金鱼”都比它前的面“金鱼”多了去掉尾巴后6根火柴组成的鱼头部分，故各“金鱼”图形所用火柴棒的根数构成一首项为8，公差是6的等差数列，通项公式为an＝6n＋2.
4．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2·an(n≥2)，而a1＝1，通过计算a2、a3、a4，猜想an＝(　　)
A. B.
C. D.
[答案]　B
[解析]　考查归纳推理．
a2＝S2－S1＝22a2－1，∴a2＝，
a3＝S3－S2＝32·a3－22·a2＝9a3－4×，
∴a3＝.
a4＝S4－S3＝42·a4－32a3＝16a4－9×，
∴a4＝.
由此猜想an＝.
5．观察数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4，…的特点，则第100项为(　　)
A．10 B．14
C．13 D．100
[答案]　B
[解析]　设n∈N*，则数字n共有n个，
所以≤100即n(n＋1)≤200，
又因为n∈N*，所以n＝13，到第13个13时共有＝91项，从第92项开始为14，故第100项为14.
6．求证：＋>.
证明：因为＋和都是正数，
所以为了证明＋>，
只需证明(＋)2>()2.
展开得5＋2>5，即2>0，
此式显然成立，
所以不等式＋>成立．
上述证明过程应用了(　　)
A．综合法
B．分析法
C．综合法、分析法配合使用
D．间接证法
[答案]　B
[解析]　证明过程中的“为了证明……”，“只需证明……”这样的语句是分析法所特有的，是分析法的证明模式．
7．已知f1(x)＝cosx，f2(x)＝f1′(x)，f3(x)＝f2′(x)，f4(x)＝f3′(x)，…，fn(x)＝fn－1′(x)，则f2011(x)等于(　　)
A．sinx B．－sinx
C．cosx D．－cosx
[答案]　D
[解析]　由已知，有f1(x)＝cosx，f2(x)＝－sinx，f3(x)＝－cosx，f4(x)＝sinx，f5(x)＝cosx，…，可以归纳出：
f4n(x)＝sinx，f4n＋1(x)＝cosx，f4n＋2(x)＝－sinx，f4n＋3(x)＝－cosx(n∈N*)．所以f2011(x)＝f3(x)＝－cosx.
8．已知数列{an}满足a1＝0，an＋1＝(n∈N*)，则a20等于(　　)
A．0 B．－
C. D.
[答案]　B
[解析]　a2＝＝－，a3＝＝，a4＝0，所以此数列具有周期性，0，－，依次重复出现．
因为20＝3×6＋2，所以a20＝a2＝－.
9．定义一种运算“*”；对于自然数n满足以下运算性质：(　　)
A. n B.n＋1
C．n－1 D．n2
[答案]　A
[解析]　令an＝n*1，则由(ii)得，an＋1＝an＋1，由(i)得，a1＝1
∴{an}是首项a1＝1，公差为1的等差数列，∴an＝n，即n*1＝n，故选A.
10．已知f(x)＝x3＋x，a、b、c∈R，且a＋b>0，a＋c>0，b＋c>0，则f(a)＋f(b)＋f(c)的值(　　)
A．一定大于零 B．一定等于零
C．一定小于零 D．正负都有可能
[答案]　A
[解析]　f(x)＝x3＋x是奇函数，且在R上是增函数，
由a＋b>0得a>－b，
所以f(a)>f(－b)，即f(a)＋f(b)>0，
同理f(a)＋f(c)>0，f(b)＋f(c)>0，所以f(a)＋f(b)＋f(c)>0.
11．用反证