2020 2021学年高中数学第1章导数及其应用课时素养评价含解析（9份打包）苏教版选修2 2.zip

课时素养评价九　导数在实际生活中的应用
(25分钟·60分)
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.某银行准备新设一种定期存款业务,经预测,存款量与存款利率成正比,比例系数为k(k>0),贷款的利率为4.8%,假设银行吸收的存款能全部放贷出去.若存款利率为x(x∈(0,0.048)),当银行获得最大收益时,则存款利率此时应为(　　)
A.0.048　　　　　　　　 B.0.024
C.0.012 D.0.006
【解析】选B.由题意知,存款量g(x)=kx(k>0),银行应支付的利息h(x)=xg(x)=kx2,x∈(0,0.048).
设银行可获得收益为y,则y=0.048kx-kx2.
于是y′=0.048k-2kx,令y′=0,解得x=0.024.
依题意知,y在x=0.024处取得最大值.
故当存款利率为0.024时,银行可获得最大收益.
2.某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品,若该商品零售价定为p元,销售量为Q,则销售量Q(单位:件)与零售价p(单位:元)有如下关系:Q=8 300-170p-p2.则最大毛利润为(毛利润=销售收入-进货支出) (　　)
A.30元 B.60元 C.28 000元　 D.23 000元
【解析】选D.设毛利润为L(p),由题意知L(p)=pQ-20Q=Q(p-20)
=(8 300-170p-p2)(p-20)
=-p3-150p2+11 700p-166 000,
所以,L′(p)=-3p2-300p+11 700.令L′(p)=0,解得p=30或p=-130(舍去).
此时,L(30)=23 000.因为在p=30附近的左侧L′(p)>0,右侧L′(p)<0,
所以L(30)是极大值,根据实际问题的意义知,L(30)是最大值,即零售价定为每件30元时,最大毛利润为23 000元.
3.某产品的销售收入y1(万元)是产量x(千台)的函数,y1=17x2;生产总成本y2(万元)也是x的函数,y2=2x3-x2(x>0),为使利润最大,应生产的台数为 (　　)
A.36千台 B.24千台
C.12千台 D.6千台
【解析】选D.利润y=y1-y2=17x2-(2x3-x2)
=18x2-2x3(x>0),求导得y′=36x-6x2,
令y′=0,得x=6或x=0(舍去).经过分析知当x=6时,y取最大值.
4.要做一个圆锥形漏斗,其母线长为20 cm,要使其体积最大,则其高应为(　　)
A.cm B.100 cm
C.20 cm D.cm
【解析】选A.设高为x cm,
则底面半径为 cm,
所以圆锥体积V=π·(400-x2)·x
=,V′=,
令V′=0,得x=或x=(舍去),
经判断可得x=时,V最大.
5.已知球O的半径为R,圆柱内接于球,当内接圆柱的体积最大时,高等于 (　　)
A.R B.R C.R D.R
【解析】选A.设球内接圆柱的高为h,圆柱底面半径为r,
则h2+(2r)2=(2R)2,得r2=R2-h2(0<h<2R).
所以圆柱的体积为V(h)=πr2h=πh
=πR2h-πh3(0<h<2R).
求导数,得V′(h)=πR2-πh2
=π,
所以0<h<时,V′(h)>0;
<h<2R时,V′(h)<0,
由此可得:V(h)在区间上是增函数;在区间上是减函数,所以当h=时,V(h)取得最大值.
二、填空题(每小题5分,共15分)
6.书店预计一年内要销售某种书15万册,欲分几次订货,如果每次订货要付手续费30元,每千册书存放一年要耗库存费40元,并假设该书均匀投放市场,则此书店分____________次进货、每次进____________册,可使所付的手续费与库存费之和最少. 
【解析】设每次进书x千册(0<x<150),手续费与库存费之和为y元,由于该书均匀投放市场,则平均库存量为批量之半,即,故有y=×30+×40,
y′=-+20=,
所以当0<x<15时y′<0,当15<x<150时y′>0.故当x=15时,y取得最小值,
此时进货次数为=10(次).即该书店分10次进货,每次进15 000册书,所付手续费与库存费之和最少.
答案:10　15 000
7.把一个周长为12 cm的长方形作为一个圆柱的侧面,当圆柱的体积最大时,该圆柱底面周长与高的比为_______________. 
【解析】设圆柱高为x,底面半径为r,
则r=,圆柱体积V=π·x
=(x3-12x2+36x)(0<x<6),
V′=(x-2)(x-6),
当x=2时,