人教考点3-2 导数应用：单调性、极值与最值（文理）-2023年高考数学一轮复习小题多维练（全国通用）（解析版）.docx

考点02练 导数应用：单调性、极值与最值
1．（2022·全国·高考真题（文））函数在区间的最小值、最大值分别为（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
利用导数求得的单调区间，从而判断出在区间上的最小值和最大值.
【详解】
，
所以在区间和上，即单调递增；
在区间上，即单调递减，
又，，，
所以在区间上的最小值为，最大值为.
故选：D
2．（2022·全国·高三专题练****函数（）的单调递增区间是（       ）
A． B．
C． D．和
【答案】B
【分析】
求导可得，求即可得解.
【详解】
（），
令，解得，
故在上单调递增，
故选：B．
3．（2022·陕西西安·二模（理））函数的定义域为，其导函数的图像如图所示，则函数极值点的个数为（       ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】
根据给定的导函数的图象，结合函数的极值的定义，即可求解.
【详解】
如图所示，设导函数的图象与轴的交点分别为，
根据函数的极值的定义可知在该点处的左右两侧的导数符号相反，
可得为函数的极大值点，为函数的极小值点，
所以函数极值点的个数为4个.
故选：C.
4.（2022·全国·高三专题练****已知函数，则在上的最大值是__________．
【答案】
【分析】
求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，求出函数的最大值即可．
【详解】
由题意可知，，
，．
当时，，
函数在区间上单调递增，则．
故答案为：
5．（2022·全国·高三专题练****若函数有三个单调区间，则实数a的取值范围是________．
【答案】
【分析】
由有两个不相等的实数根求得的取值范围.
【详解】
，
由于函数有三个单调区间，
所以有两个不相等的实数根，所以.
故答案为：
6.（2022全国·高三专题练****已知是函数的一个极值点，则的值是（       ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【分析】
由题知，可得，由二倍角公式可算得，进而有，所以.
【详解】
，
∴，∴，
∴
故选：D
7．（2021·全国·高考真题（理））设，若为函数的极大值点，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
先考虑函数的零点情况，注意零点左右附近函数值是否变号，结合极大值点的性质，对进行分类讨论，画出图象，即可得到所满足的关系，由此确定正确选项.
【详解】
若，则为单调函数，无极值点，不符合题意，故.
有和两个不同零点，且在左右附近是不变号，在左右附近是变号的.依题意，为函数的极大值点，在左右附近都是小于零的.
当时，由，，画出的图象如下图所示：
由图可知，，故.
当时，由时，，画出的图象如下图所示：
由图可知，，故.
综上所述，成立.
故选：D
【点睛】
本小题主要考查三次函数的图象与性质，利用数形结合的数学思想方法可以快速解答.
8．（2023·全国·高三专题练****函数，若在上有最小值，则实数a的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
求得导数，当时，得到在上单调递减，不符合题意；
当时，结合函数与的图象，得到存在，使得，结合函数的单调性，即可求解.
【详解】
由题意，函数，可得，
若时，当时，可得，在上单调递减，
此时函数在没有最小值，不符合题意；当时，令，即，即与的交点，
画出函数与的图象，如图所示，
结合图象，可得存在，使得，当时，，单调递减；
当时，，单调递增，此时函数在上有最小值，符合题意，
综上可得，实数a的取值范围是.故选：A.
9.（2021·全国·高考真题）函数的最小值为______.
【答案】1
【分析】
由解析式知定义域为，讨论、、，并结合导数研究的单调性，即可求最小值.
【详解】
由题设知：定义域为，
∴当时，，此时单调递减；
当时，，有，此时单调递减；
当时，，有，此时单调递增；
又在各分段的界点处连续，
∴综上有：时，单调递减，时，单调递增；
∴
故答案为：1.
10．（2021·四川成都·高三阶段练****文））已知，且，则的最大值为_______．
【答案】##
【分析】
利用对数的运算解方程，得关系，代入，然后构造函数，利用导数求最值.
【详解】
解：，即，即，
解得或，即或（舍，），
将代入得，
设，
则，
当时，，当时，，
在上单调递