人教第04讲 空间向量在立体几何中的应用（练，理科专用）（解析版）.docx

第04讲 空间向量在立体几何中的应用
一、单选题
1．如图所示，若正方体的棱长为a，体对角线与相交于点O，则有（    ）．

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】建立空间直角坐标系．利用向量坐标运算、数量积运算性质即可判断出结论．
【详解】如图所示，以为坐标原点，以、、分别为、、建立空间直角坐标系：
由上图以及已知条件可知，D(0，0，0)，A(a，0，0)，B(a，a，0)，A1(a，0，a)，C1(0，a，a)，C(0，a，0)，O．
因为(0，a，0)，(﹣a，a，0)，a2，故A错误；
因为(﹣a，a，a)，所以，故B错误；
因为，所以，故C正确；
因为(﹣a，0，0)，(a，0，a)，所以，故D错误．
故选：C．
2．已知向量，，，若，，三向量共面，则实数（    ）
A． B．2 C． D．3
【答案】B
【分析】根据共面向量定理列等式，解方程即可.
【详解】∵，，三向量共面，
∴存在实数，，使得，即，
∴，解得，，．
故选：B.
3．如图，在平行六面体中，E，F分别在棱和上，且.记，若，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设，由空间向量的线性运算可得，由空间向量基本定理即可求解.
【详解】设，因为
，
所以，，.
因为，所以.故选:B.
4．在我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的棱柱称为堑堵．已知在堑堵中，，，，若直线与直线所成角为，则(    )
A．​ B．2 C．​ D．​
【答案】B
【分析】以为原点建立空间直角坐标系，利用向量方法求出和夹角余弦值即可求出竖坐标，从而得到答案．
【详解】如图，以为原点建立空间直角坐标系，
则，，，设，
则，，
，
解得，故．故选：B．
二、填空题
5．如图所示，在四棱锥P-ABCD中，，且，若，，则二面角A-PB-C的余弦值为______．
【答案】
【分析】建立空间直角坐标系，结合二面角的空间向量的坐标计算公式即可求出结果.
【详解】在平面内作，垂足为，
因为，得AB⊥AP，CD⊥PD，由于AB//CD ，故AB⊥PD ，从而AB⊥平面PAD，故，可得平面.
以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系.
所以，，，.
所以，，，.
设是平面的法向量，则
即
可取.
设是平面的法向量，则
即可取.
则，
由图可知二面角的平面角为钝角，
所以二面角的余弦值为.
故答案为：.
6．下列结论中，正确的序号是________．
①若、、共面，则存在实数x、y，使得；
②若、、不共面，则不存在实数x、y，使得；
③若、、共面，、不共线，则存在实数x、y，使得；
④若，则、、共面．
【答案】②③④
【分析】根据共面向量的基本定理逐一判断即可.
【详解】对于①，若，共线，且，不共线，
则不存在实数x，y，使，故①错误；
由共面向量的基本定理可知②、③、④均正确，
故正确的个数是②③④．
故答案为：②③④.
三、解答题
7．如图，在三棱柱中，平面为线段上的一点.
(1)求证：；
(2)若为线段上的中点，求直线与平面所成角大小.
【答案】(1)证明见解析，(2)
【分析】（1）由题意可得两两垂直，所以以为原点，分别以所在的直线为建立空间直角坐标系，利用空间向量证明即可，
（2）先求出平面的法向量，然后利用空间向量的夹角公式求解即可.
（1）
证明：因为平面，平面，
所以，
因为，所以两两垂直，
所以以为原点，分别以所在的直线为建立空间直角坐标系，如图所示，
则,
设，
所以，
所以，
所以，
所以
（2）
因为为线段上的中点，所以，
所以，,
设平面的法向量为，则
，令，则，
设直线与平面所成角为，则
，
因为，所以，
所以直线与平面所成角的大小为.
8．如图，已知圆锥的顶点为，点是圆上一点，，点是劣弧上的一点，平面平面，且.
(1)证明：.
(2)求点到平面的距离.
【答案】(1)证明见解析(2)
【分析】（1）由线面平行的判定和性质，推得，再由和圆的对称性，求出相关的角的大小，即可得证；
（2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用点到平面的距离公式计算可得所求值．
（1）
证明：因为平面平面，
所以平面.
因为平面，且平面平面，
所以.
因为，所以，
所以，即.
（2）
解：如图，以为坐标原点，以的方向分别为轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图所