人教版高中数学第03讲 基本不等式 (精讲+精练）（教师版）.docx

第03讲 基本不等式 (精讲+精练）
目录
第一部分：思维导图（总览全局）
第二部分：知识点精准记忆
第三部分：课前自我评估测试
第四部分：典型例题剖析
高频考点一：利用基本不等式求最值
①凑配法
②“1”的代入法
③二次与二次（一次）商式（换元法）
④条件等式求最值
高频考点二：利用基本不等式求参数值或取值范围
高频考点三：利用基本不等式解决实际问题
高频考点四：基本不等式等号不成立，优先对钩函数
第五部分：高考真题感悟
第六部分：第03讲 基本不等式 （精练）
第一部分：思 维 导 图 总 览 全 局
第二部分：知 识 点 精 准 记 忆
1、基本不等式（一正，二定，三相等，特别注意“一正”，“三相等”这两类陷阱）
①如果，，，当且仅当时，等号成立．
②其中叫做正数，的几何平均数；叫做正数，的算数平均数．
2、两个重要的不等式
①（）当且仅当时，等号成立．
②（）当且仅当时，等号成立．
3、利用基本不等式求最值
①已知，是正数，如果积等于定值，那么当且仅当时，和有最小值；
②已知，是正数，如果和等于定值，那么当且仅当时，积有最大值；
4、常用技巧
利用基本不等式求最值的变形技巧——凑、拆（分子次数高于分母次数）、除（分子次数低于分母次数））、代（1的代入）、解（整体解）.
①凑：凑项，例：；
凑系数，例：；
②拆：例：；
③除：例：；
④1的代入：例：已知，求的最小值.
解析：.
⑤整体解：例：已知,是正数，且，求的最小值.
解析：，即，解得.
第三部分：课 前 自 我 评 估 测 试
一、判断题
1．（2022·江西·贵溪市实验中学高二期末）当时，的最小值为4   ( )
【答案】错误
解：由得到， 令，则，
因为，所以函数为减函数，当时，，
故答案为：错误.
2．（2021·江西·贵溪市实验中学高二阶段练****已知，则的最大值为( )
【答案】正确
∵，
∴，
当且仅当，即时，取等号，
故的最大值为.
故答案为：正确
二、单选题
1．（2022·江西·高一阶段练****当时，的最小值为（       ）
A．3 B． C． D．
【答案】D
由（当且仅当时等号成立．）
可得当时，的最小值为
故选：D
2．（2022·湖南湖南·二模）函数的最小值为（       ）
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】D
因为，所以，，利用基本不等式可得
，
当且仅当即时等号成立.
故选：D.
3．（2022·湖南·高一阶段练****已知，且，则的最大值为（       ）
A．2 B．5 C． D．
【答案】D
因为，所以，当且仅当时，等号成立.
所以的最大值为.
故选：D
4．（2022·新疆·乌苏市第一中学高一开学考试）下列函数，最小值为2的函数是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】D
对A，可取负数，故A错误；
对B，，故B错误；
对C，，故C错误；
对D，，等号成立当且仅当，故D正确；故选：D
第四部分：典 型 例 题 剖 析
高频考点一：利用基本不等式求最值
①凑配法
1．（2022·北京大兴·高一期末）当时，的最大值为（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
，，又
，当且仅当，即时等号成立，
所以的最大值为
故选：B
2．（2022·山西·怀仁市第一中学校二模（文））函数的最小值为（       ）
A．8 B．7 C．6 D．5
【答案】D
因为，所以3x－1>0，
所以，
当且仅当，即x =1时等号成立，
故函数的最小值为5．
故选：D．
3．（2022·安徽省蚌埠第三中学高一开学考试）已知x>3，则对于，下列说法正确的是（       ）
A．y有最大值7 B．y有最小值7 C．y有最小值4 D．y有最大值4
【答案】B
解：因为，所以，所以，当且仅当，即时取等号，所以有最小值；
故选：B
4．（2022·江苏省天一中学高一期末）设实数满足，则函数的最小值为（       ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
，
函数，当且仅当，即时取等号．
因此函数的最小值为3．
故选：A．
5．（2022·上海虹口·高一期末）已知，则的最大值为______．
【答案】4
因，则，于是得，当且仅当，即时取“=”，
所以的最大值为4.
故答案为：4
②“1”的代入法
1．（2022·河南·夏邑第一高级中