人教版高中数学第4讲 抛物线(解析版）.docx

第4讲　抛物线
目录
第一部分：知识强化
第二部分：重难点题型突破
突破一：抛物线定义
突破二：抛物线标准方程
突破三：抛物线弦长
突破四：抛物线中点弦
突破五：抛物线上点到定点（定直线）最值
突破六：抛物线中定点，定值问题
突破七：抛物线中定直线问题
第三部分：冲刺重难点特训
第一部分：知识强化
1、抛物线的定义
（1）抛物线的定义：平面内与一个定点和一条定直线（其中定点不在定直线上）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线．
（2）抛物线的数学表达式：(为点到准线的距离).
2、抛物线的简单几何性质
标准方程
（）
（）
（）
（）
图形
范围
，
，
，
，
对称轴
轴
轴
轴
轴
焦点坐标
准线方程
顶点坐标
离心率
通径长
3、直线与抛物线的位置关系
设直线:,抛物线:（）,将直线方程与抛物线方程联立整理成关于的方程
(1)若,当时,直线与抛物线相交,有两个交点;
当时,直线与抛物线相切,有一个切点;
当时,直线与抛物线相离,没有公共点.
(2)若,直线与抛物线有一个交点,此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合.因此直线与抛物线有一个公共点是直线与抛物线相切的必要不充分条件.
4、直线和抛物线
（1）抛物线的通径(过焦点且垂直于轴的弦)长为.
（2）抛物线的焦点弦
过抛物线（）的焦点的一条直线与它交于两点，，则
①，；②；③.
说明：抛物线的焦半径公式如下：（为焦准距）
（1）焦点在轴正半轴，抛物线上任意一点，则；
（2）焦点在轴负半轴，抛物线上任意一点，则；
（3）焦点在轴正半轴，抛物线上任意一点，则；
（4）焦点在轴负半轴，抛物线上任意一点，则.
第二部分：重难点题型突破
突破一：抛物线定义
1．（2022·福建·莆田第六中学高二阶段练****已知点是抛物线上的动点，点A的坐标为，则点到点A的距离与到轴的距离之和的最小值为（    ）
A．13 B．12 C．11 D．
【答案】B
【详解】如图，⊥轴，连接，
由抛物线定义得：抛物线的准线方程为，焦点坐标为，
故，
则点到点A的距离与到轴的距离之和，
连接，与抛物线交于点，此时，
故点到点A的距离与到轴的距离之和的最小值为，
其中，故最小值为.
故选：B
2．（2022·重庆市育才中学高三阶段练****已知过抛物线的焦点且倾斜角为的直线交于两点，为弦的中点，为上一点，则的最小值为（    ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】A
【详解】抛物线，焦点，准线，直线AB的方程为，
由消去y并整理得：，设，，则，
弦中点Q的横坐标，过点作准线l的垂线，垂足为点，如图，
令交抛物线于点，在抛物线上任取点，过作于点，连接，
即有，，
当且仅当点与P重合时取等号，
所以的最小值为.
故选：A.
3．（2022·河南·民权县第一高级中学模拟预测（文））已知抛物线的焦点为为该抛物线上一点，且（点为坐标原点），则（    ）
A．2 B．3 C．4 D．8
【答案】C
【详解】当时，，解得，故，
，，其邻角的余弦值为，
所以，化简得，解得（负舍）
故选：C.
4．（2022·广西·高二阶段练****已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，点在圆上，则的最小值为（    ）
A．12 B．10 C．8 D．6
【答案】C
【详解】由题意知，圆心，半径，抛物线的焦点，准线.
如图，作于，因为在抛物线上，所以.
因为，，当三点共线时，取等号.
又，则当三点共线时，取等号.
过点，作，垂足为，交圆于点，交抛物线于，
此时，有四点共线，则上述两式可同时取等号.
所以有，.
所以，的最小值为8.
故选：C.
5．（2022·湖南·湘府中学高二阶段练****设F为抛物线的焦点，点M在C上，点N在准线l上，满足，，则（　　）
A． B． C．2 D．
【答案】C
【详解】由题，，抛物线焦点为，准线为，
设准线与轴交点为，如图所示，
由题知，由定义可知，
因为，所以是正三角形，
则对，因为，所以，
所以，
故选：C
6．（2022·四川·南江中学高三阶段练****理））已知抛物线C：的焦点为F，点N是抛物线C的对称轴与它的准线的交点，点M是抛物线上的任意一点，则的最大值为_____________．
【答案】
【详解】如图所示，过作准线的垂线，垂足记为.
由已知得，，根据抛物线的定义知，点M到焦点F